Как решить неравенство: x^2 - 2x + 2 меньше или равно cos(pi * (x + 1))?

Алгебра 11 класс Неравенства с переменной в аргументе тригонометрической функции решение неравенства алгебра 11 класс x^2 - 2x + 2 cos(pi * (x + 1)) математические методы неравенства в алгебре Новый

Чтобы решить неравенство x^2 - 2x + 2 ≤ cos(π * (x + 1)), начнем с анализа обеих сторон неравенства.

1. **Левая часть неравенства**: x^2 - 2x + 2

• Это квадратное выражение. Чтобы понять его поведение, найдем его вершину.
• Форма квадратного уравнения ax^2 + bx + c имеет вершину в точке x = -b/(2a). В нашем случае a = 1, b = -2, c = 2.
• Находим вершину: x = -(-2)/(2*1) = 1.
• Подставим x = 1 в выражение: 1^2 - 2*1 + 2 = 1.
• Это означает, что парабола открыта вверх и имеет минимум в точке (1, 1).

2. **Правая часть неравенства**: cos(π * (x + 1))

• Функция cos колеблется между -1 и 1 для всех значений x.
• Следовательно, cos(π * (x + 1)) также будет принимать значения в диапазоне от -1 до 1.

3. **Сравнение обеих частей**:

• Мы знаем, что x^2 - 2x + 2 ≥ 1 (так как минимум равен 1) для всех x.
• Таким образом, неравенство x^2 - 2x + 2 ≤ cos(π * (x + 1)) может быть выполнено только тогда, когда cos(π * (x + 1)) также ≥ 1.
• Это возможно только если cos(π * (x + 1)) = 1, что происходит при π * (x + 1) = 2kπ (где k - целое число).
• Решая это уравнение, получаем: x + 1 = 2k или x = 2k - 1.

4. **Итог**:

Таким образом, решение неравенства x^2 - 2x + 2 ≤ cos(π * (x + 1)) будет представлено в виде:

x = 2k - 1, где k - целое число.

Это означает, что все значения x, которые имеют вид 2k - 1, удовлетворяют данному неравенству.