Как решить предел, используя первый замечательный предел: lim (x → 0) (2x / sin(x/2))?

Алгебра 11 класс Пределы и их свойства предел первый замечательный предел решение предела lim x → 0 2x / sin(x/2) алгебра 11 класс математический анализ свойства пределов тригонометрические функции пределы в алгебре Новый

Чтобы решить предел lim (x → 0) (2x / sin(x/2)), мы можем воспользоваться первым замечательным пределом, который гласит, что:

lim (x → 0) (sin(x) / x) = 1.

Для начала преобразуем наш предел, чтобы он соответствовал форме, в которой мы можем применить этот замечательный предел.

1. Запишем предел в удобной форме:
2. Обратите внимание, что в нашем случае аргумент синуса - это (x/2). Мы можем переписать предел следующим образом:

lim (x → 0) (2x / sin(x/2)) = lim (x → 0) (2 * (x/2) / sin(x/2)).

Теперь мы видим, что (x/2) стремится к 0, когда x стремится к 0.

1. Теперь мы можем выделить (x/2) из предела:

= lim (x → 0) (2 * (x/2) / sin(x/2)) = 2 * lim (x → 0) ((x/2) / sin(x/2)).

Теперь мы можем применить первый замечательный предел:

1. Заменим (x/2) на u, где u = x/2. Тогда, когда x → 0, u → 0.
2. Таким образом, мы можем переписать предел:

lim (u → 0) (u / sin(u)) = 1.

Теперь возвращаемся к нашему пределу:

lim (x → 0) (2x / sin(x/2)) = 2 * 1 = 2.

Таким образом, окончательный ответ:

lim (x → 0) (2x / sin(x/2)) = 2.