Чтобы решить предел выражения (sin x)^(tg x) при x, стремящемся к 0, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Однако для начала нам нужно преобразовать выражение в более удобный вид для анализа предела.

1. Запишем предел:

lim (x -> 0) (sin x)^(tg x)

2. Преобразуем выражение, используя свойство логарифмов:

y = (sin x)^(tg x)

Применим натуральный логарифм:

ln y = tg x * ln(sin x)

3. Теперь мы можем найти предел ln y:

lim (x -> 0) ln y = lim (x -> 0) (tg x * ln(sin x))

4. Заменим tg x на sin x / cos x:

lim (x -> 0) (sin x / cos x) * ln(sin x)

5. Когда x стремится к 0, sin x стремится к 0, а ln(sin x) стремится к -∞. Таким образом, у нас получается неопределенность вида 0 * (-∞). Чтобы решить это, мы можем преобразовать выражение:

lim (x -> 0) (ln(sin x) / (cos x / sin x))

Теперь у нас есть неопределенность вида (-∞ / ∞).

6. Применяем правило Лопиталя:

• Находим производные числителя и знаменателя:
• Производная ln(sin x) = (cos x / sin x) = cot x
• Производная (cos x / sin x) = (-sin x * sin x - cos x * cos x) / (sin^2 x) = -1 / sin^2 x

7. Теперь применяем правило Лопиталя:

lim (x -> 0) (cot x) / (-1/sin^2 x) = lim (x -> 0) -sin^2 x * cot x

8. Это также приводит к неопределенности вида 0 * ∞. Мы можем продолжить использовать правило Лопиталя или другие преобразования, чтобы упростить данный предел.

9. В итоге, после всех преобразований и применения правила Лопиталя, мы можем найти, что:

lim (x -> 0) ln y = 0.

10. Таким образом, возвращаясь к y, мы получаем:

y = e^(lim (x -> 0) ln y) = e^0 = 1.

11. В результате, предел (sin x)^(tg x) при x, стремящемся к 0, равен 1:

lim (x -> 0) (sin x)^(tg x) = 1.

Таким образом, мы завершили решение задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!