Как решить систему неравенств, используя единичную окружность? Не забудьте про рисунок!
cos2x ≥ 0
sin2x ≤ 0

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических неравенств решить систему неравенств единичная окружность cos2x ≥ 0 sin2x ≤ 0 алгебра 11 класс график неравенств методы решения неравенств Новый

Для решения системы неравенств cos(2x) ≥ 0 и sin(2x) ≤ 0 с использованием единичной окружности, давайте рассмотрим каждое из неравенств по отдельности.

Шаг 1: Анализ неравенства cos(2x) ≥ 0

Неравенство cos(2x) ≥ 0 означает, что косинус угла 2x должен быть неотрицательным. На единичной окружности это происходит в следующих quadrants:

• 1-й квадрант (0 ≤ 2x < π/2)
• 4-й квадрант (3π/2 ≤ 2x < 2π)

Это означает, что:

• 0 ≤ 2x < π/2
• 3π/2 ≤ 2x < 2π

Теперь делим каждое неравенство на 2:

• 0 ≤ x < π/4
• 3π/4 ≤ x < π

Шаг 2: Анализ неравенства sin(2x) ≤ 0

Неравенство sin(2x) ≤ 0 означает, что синус угла 2x должен быть неположительным. На единичной окружности это происходит в следующих quadrants:

• 3-й квадрант (π < 2x < 3π/2)
• 4-й квадрант (3π/2 < 2x < 2π)

Это означает, что:

• π < 2x < 3π/2
• 3π/2 < 2x < 2π

Теперь делим каждое неравенство на 2:

• π/2 < x < 3π/4
• 3π/4 < x < π

Шаг 3: Находим пересечение решений

Теперь у нас есть два диапазона для x:

• От cos(2x) ≥ 0: 0 ≤ x < π/4 и 3π/4 ≤ x < π
• От sin(2x) ≤ 0: π/2 < x < 3π/4 и 3π/4 < x < π

Теперь нам нужно найти пересечение этих двух множеств:

• Первая часть (0 ≤ x < π/4) не пересекается с (π/2 < x < 3π/4).
• Вторая часть (3π/4 ≤ x < π) пересекается с (π/2 < x < 3π/4).

Таким образом, единственное решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это:

• 3π/4 ≤ x < π

Рисунок:

На единичной окружности можно отметить углы, соответствующие найденным решениям:

• Угол 3π/4 находится в 2-м квадранте, где cos(2x) < 0, но sin(2x) = 0.
• Угол π находится на оси X, где cos(2x) = 0 и sin(2x) = 0.

Таким образом, итоговое решение системы неравенств:

• x ∈ [3π/4, π)