Для решения системы неравенств sin(x) > cos(2x) на интервале [0, 2π], следуем следующим шагам:

1. Преобразуем неравенство:

   Используем тригонометрическую идентичность: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) или cos(2x) = 1 - 2sin²(x). Выберем второй вариант для удобства:

   Тогда неравенство можно записать как:

   sin(x) > 1 - 2sin²(x)

2. Переносим все в одну сторону:

   Получаем:

   2sin²(x) + sin(x) - 1 > 0

3. Решаем квадратное неравенство:

   Обозначим y = sin(x). Тогда неравенство принимает вид:

   2y² + y - 1 > 0

   Решим соответствующее квадратное уравнение:

   2y² + y - 1 = 0

   Находим дискриминант:

   D = b² - 4ac = 1² - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9

   Теперь находим корни:

   y₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 4 = 1/2

   y₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 4 = -1

4. Анализируем знаки:

   Неравенство 2y² + y - 1 > 0 будет выполняться вне интервала, ограниченного корнями:

   y < -1 или y > 1/2.

   Так как sin(x) принимает значения в интервале [-1, 1], то нас интересует только:

   sin(x) > 1/2.

5. Находим значения x:

   Неравенство sin(x) > 1/2 выполняется в следующих интервалах:

   • На интервале (π/6, 5π/6) в пределах [0, 2π].
6. Находим длину промежутка:

   Длина промежутка равна:

   (5π/6 - π/6) = (5π/6 - π/6) = 4π/6 = 2π/3.

Теперь подставим длину промежутка в ответ:

Ответ: 6l/π = 6(2π/3)/π = 4.

Таким образом, ответ на задачу: 4.