Как решить систему показательных уравнений: 9^х=725+2^у и 25+2^(0,5*у)-3^х=0?

Алгебра 11 класс Системы показательных уравнений решить систему показательных уравнений 9^x=725+2^y 25+2^(0,5*y)-3^x=0 алгебра 11 класс системы уравнений показательные уравнения Новый

Для решения системы показательных уравнений:

1) 9^x = 725 + 2^y

2) 25 + 2^(0.5y) - 3^x = 0

начнем с того, что упростим каждое уравнение и попробуем выразить одну переменную через другую.

Шаг 1: Упростим первое уравнение

Первое уравнение можно переписать, используя свойства степеней. Заметим, что 9 можно представить как 3^2:

3^(2x) = 725 + 2^y

Шаг 2: Упростим второе уравнение

Во втором уравнении можно выразить 3^x:

3^x = 25 + 2^(0.5y)

Теперь у нас есть два уравнения:

• 3^(2x) = 725 + 2^y
• 3^x = 25 + 2^(0.5y)

Шаг 3: Выразим 2^y через 3^x

Из второго уравнения выразим 2^(0.5y):

2^(0.5y) = 3^x - 25

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

2^y = (3^x - 25)^2

Шаг 4: Подставим 2^y в первое уравнение

Теперь подставим найденное значение 2^y в первое уравнение:

3^(2x) = 725 + (3^x - 25)^2

Шаг 5: Упростим уравнение

Раскроем скобки:

3^(2x) = 725 + (3^(2x) - 50*3^x + 625)

Соберем все члены на одной стороне:

0 = 725 + 625 - 50*3^x - 3^(2x)

0 = 1350 - 50*3^x - 3^(2x)

Теперь можно сделать замену: пусть z = 3^x. Тогда уравнение примет вид:

0 = 1350 - 50z - z^2

или

z^2 + 50z - 1350 = 0

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант:

D = 50^2 - 4*1*(-1350) = 2500 + 5400 = 7900

Теперь найдем корни:

z = (-50 ± √7900) / 2

Рассчитаем значения:

√7900 ≈ 88.9

Таким образом, получаем:

• z1 ≈ (-50 + 88.9) / 2 ≈ 19.45
• z2 ≈ (-50 - 88.9) / 2 (отрицательное значение, не подходит)

Шаг 7: Найдем значение x

Теперь вернемся к переменной z:

3^x = 19.45

x = log3(19.45)

Шаг 8: Найдем значение y

Теперь подставим значение x в одно из уравнений, чтобы найти y. Например, подставим в уравнение 2:

3^x = 19.45

25 + 2^(0.5y) = 19.45

2^(0.5y) = 19.45 - 25 = -5.55 (это невозможно, так как 2^(0.5y) не может быть отрицательным).

Таким образом, мы пришли к выводу, что система уравнений не имеет решений.