Для решения системы уравнений x’=3x+y и y’=x+3y, мы будем использовать метод характеристических уравнений. Давайте разберем шаги по решению этой системы.

1. Запишем систему уравнений в матричной форме.

   Система уравнений может быть записана как:

   X' = AX,

   где X = [x, y] и A = [[3, 1], [1, 3]].

2. Найдём собственные значения матрицы A.

   Для этого нам нужно решить характеристическое уравнение:

   det(A - λI) = 0,

   где I – единичная матрица, а λ – собственное значение.

   Записываем:

   A - λI = [[3 - λ, 1], [1, 3 - λ]].

   Теперь находим определитель:

   det(A - λI) = (3 - λ)(3 - λ) - 1 = (3 - λ)² - 1.

   Решаем уравнение:

   (3 - λ)² - 1 = 0.

   Это уравнение можно упростить:

   (3 - λ)² = 1.

   Следовательно, 3 - λ = ±1, что дает два собственных значения:

   • λ₁ = 4
   • λ₂ = 2
3. Найдём собственные векторы для каждого собственного значения.

   Для λ₁ = 4:

   Решаем систему (A - 4I)V = 0:

   [[3 - 4, 1], [1, 3 - 4]] * [v₁, v₂] = [0, 0].

   Это дает систему:

   [-1v₁ + 1v₂ = 0

   v₁ - v₂ = 0]

   Отсюда v₁ = v₂. Пусть v₁ = 1, тогда v₂ = 1. Таким образом, собственный вектор для λ₁ = 4:

   V₁ = [1, 1].

   Для λ₂ = 2:

   Решаем систему (A - 2I)V = 0:

   [[3 - 2, 1], [1, 3 - 2]] * [v₁, v₂] = [0, 0].

   Это дает систему:

   [1v₁ + 1v₂ = 0

   1v₁ + 1v₂ = 0]

   Отсюда v₁ = -v₂. Пусть v₂ = 1, тогда v₁ = -1. Таким образом, собственный вектор для λ₂ = 2:

   V₂ = [-1, 1].

4. Запишем общее решение системы.

   Общее решение системы будет иметь вид:

   X(t) = C₁e^(λ₁t)V₁ + C₂e^(λ₂t)V₂.

   Подставляем найденные значения:

   X(t) = C₁e^(4t)[1, 1] + C₂e^(2t)[-1, 1].

   Это можно записать как:

   X(t) = [C₁e^(4t) - C₂e^(2t), C₁e^(4t) + C₂e^(2t)].

5. Определяем константы C₁ и C₂ при помощи начальных условий, если они заданы.

   Если у вас есть начальные условия, например, x(0) = x₀ и y(0) = y₀, то подставьте t = 0 в общее решение и решите систему для нахождения C₁ и C₂.

Таким образом, мы получили общее решение данной системы уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!