Как решить следующие задачи по алгебре:

1. Как решить биквадратное уравнение x^4 + x^2 - 12 = 0?
2. Как решить уравнение (2x^2 + 3)² - 7(2x² + 3) + 10 = 0 методом замены переменной?
3. Как найти все корни уравнения (x² - 8x)(x² - 8x - 6) = 280?
4. Как выполнить замену переменной и решить уравнение (x² - 2x)² - (x - 1)² = 55?

Помогите решить, пожалуйста.

Алгебра 11 класс Биквадратные уравнения и уравнения с заменой переменной решение биквадратного уравнения замена переменной в уравнении корни уравнения алгебра 11 класс задачи по алгебре методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Давайте рассмотрим каждое из уравнений по порядку.

1. Решение биквадратного уравнения x^4 + x^2 - 12 = 0

Это уравнение является биквадратным, то есть его можно решить, сделав замену переменной. Обозначим:

• y = x^2

Тогда уравнение преобразуется в:

• y^2 + y - 12 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49

Корни уравнения находятся по формуле:

• y1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 7) / 2 = 3
• y2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 7) / 2 = -4

Теперь вернемся к переменной x:

• x^2 = 3 => x = ±sqrt(3)
• x^2 = -4 => нет действительных корней

Таким образом, корни уравнения: x = sqrt(3) и x = -sqrt(3).

2. Решение уравнения (2x^2 + 3)² - 7(2x² + 3) + 10 = 0 методом замены переменной

Сделаем замену:

• y = 2x^2 + 3

Тогда уравнение перепишется так:

• y² - 7y + 10 = 0

Решим это квадратное уравнение также с помощью дискриминанта:

• D = (-7)² - 4*1*10 = 49 - 40 = 9

Корни:

• y1 = (7 + 3) / 2 = 5
• y2 = (7 - 3) / 2 = 2

Теперь вернемся к x:

• 2x^2 + 3 = 5 => 2x^2 = 2 => x^2 = 1 => x = ±1
• 2x^2 + 3 = 2 => 2x^2 = -1 => нет действительных корней

Таким образом, корни уравнения: x = 1 и x = -1.

3. Найти все корни уравнения (x² - 8x)(x² - 8x - 6) = 280

Сначала обозначим:

• y = x² - 8x

Тогда уравнение принимает вид:

• y(y - 6) = 280

Раскроем скобки:

• y² - 6y - 280 = 0

Решим это квадратное уравнение:

• D = (-6)² - 4*1*(-280) = 36 + 1120 = 1156

Корни:

• y1 = (6 + 34) / 2 = 20
• y2 = (6 - 34) / 2 = -14

Вернемся к x:

• x² - 8x = 20 => x² - 8x - 20 = 0
• D = 64 + 80 = 144 => x1 = (8 + 12) / 2 = 10, x2 = (8 - 12) / 2 = -2

Для y = -14:

• x² - 8x = -14 => x² - 8x + 14 = 0
• D = 64 - 56 = 8 => нет действительных корней.

Таким образом, корни уравнения: x = 10 и x = -2.

4. Решить уравнение (x² - 2x)² - (x - 1)² = 55

Сделаем замену:

• y = x² - 2x

Тогда уравнение станет:

• y² - (x - 1)² = 55

Раскроем скобки:

• y² - (x² - 2x + 1) = 55

Подставим y:

• (x² - 2x)² - (x² - 2x + 1) = 55

Теперь подставим y обратно:

• (x² - 2x)² - (x² - 2x + 1) - 55 = 0

Это уравнение можно решить, но оно может быть сложным. Мы можем использовать численные методы или графический подход для нахождения корней.

Таким образом, мы рассмотрели все уравнения и нашли их корни.