Как решить следующие задачи по алгебре:

1. Решить уравнение: 2cos^2x-sinx-1=0.
2. Докажите, что функция у=(2х+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000у(2х+5)^17-(у')^3=0.
3. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

Алгебра 11 класс Алгебраические уравнения и функции алгебра решение уравнений тригонометрические уравнения функции производные Геометрическая прогрессия математические задачи алгебраические выражения Новый

Решение задач по алгебре требует последовательного подхода и понимания основных понятий. Рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1. Решить уравнение: 2cos^2x - sinx - 1 = 0.

Для решения данного уравнения начнем с преобразования тригонометрических функций. Мы знаем, что cos^2x = 1 - sin^2x. Подставим это в уравнение:

2(1 - sin^2x) - sinx - 1 = 0.

Раскроем скобки:

2 - 2sin^2x - sinx - 1 = 0.

Упростим выражение:

-2sin^2x - sinx + 1 = 0.

Умножим уравнение на -1 для удобства:

2sin^2x + sinx - 1 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx. Обозначим sinx = t, тогда уравнение принимает вид:

2t^2 + t - 1 = 0.

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

Корни уравнения находятся по формуле:

t = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 3) / 4.

Таким образом, получаем два корня:

• t1 = (2) / 4 = 0.5,
• t2 = (-4) / 4 = -1.

Теперь вернемся к sinx:

• sinx = 0.5, что дает x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число;
• sinx = -1, что дает x = 3π/2 + 2kπ.

Таким образом, решение уравнения: x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ, x = 3π/2 + 2kπ.

2. Докажите, что функция y = (2x + 5)^10 удовлетворяет соотношению 8000y(2x + 5)^17 - (y')^3 = 0.

Для начала найдем производную y:

y = (2x + 5)^10. Используем правило производной для степенной функции:

y' = 10(2x + 5)^9 * 2 = 20(2x + 5)^9.

Теперь подставим y и y' в данное соотношение:

8000y(2x + 5)^17 = 8000(2x + 5)^{10}(2x + 5)^{17} = 8000(2x + 5)^{27}.

Теперь найдем (y')^3:

(y')^3 = (20(2x + 5)^9)^3 = 8000(2x + 5)^{27}.

Теперь подставим эти выражения в соотношение:

8000(2x + 5)^{27} - 8000(2x + 5)^{27} = 0.

Таким образом, соотношение выполняется, и функция действительно удовлетворяет данному условию.

3. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как q. Тогда члены прогрессии будут выглядеть следующим образом: a, aq, aq^2, ...

Сумма всех последующих членов прогрессии S = aq + aq^2 + aq^3 + ... = a(q/(1-q)), где |q| < 1.

По условию задачи, первый член в 6 раз больше суммы всех последующих:

a = 6S = 6 * a(q/(1-q)).

Сократим a (при условии, что a ≠ 0):

1 = 6(q/(1-q)).

Умножим обе стороны на (1 - q):

1 - q = 6q.

Переносим q на одну сторону:

1 = 7q.

Таким образом, знаменатель прогрессии:

q = 1/7.

Таким образом, мы нашли знаменатель геометрической прогрессии, который равен 1/7.