Как решить совокупность неравенств: x² - 3x ≤ 0 и x > 2?

Алгебра 11 класс Совокупности неравенств решение неравенств совокупность неравенств алгебра 11 класс неравенства x² - 3x ≤ 0 неравенства x > 2 методы решения неравенств Новый

Для решения совокупности неравенств x² - 3x ≤ 0 и x > 2, давайте разберемся с каждым из них по отдельности, а затем найдем их пересечение.

Шаг 1: Решение первого неравенства x² - 3x ≤ 0

Сначала мы можем привести это неравенство к стандартному виду. Для этого вынесем x за скобки:

• x(x - 3) ≤ 0

Теперь мы видим, что это произведение двух множителей (x и x - 3) должно быть меньше или равно нулю. Чтобы найти значения x, при которых это неравенство выполняется, найдем корни уравнения x(x - 3) = 0:

• x = 0
• x = 3

Теперь мы имеем два корня: x = 0 и x = 3. Эти значения делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1. Подставляем: (-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0.
• Для интервала (0, 3): выберем, например, x = 1. Подставляем: (1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 < 0.
• Для интервала (3, +∞): выберем, например, x = 4. Подставляем: (4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 > 0.

Таким образом, неравенство x(x - 3) ≤ 0 выполняется на интервале [0, 3].

Шаг 2: Решение второго неравенства x > 2

Это неравенство просто говорит нам, что x должно быть больше 2. Таким образом, решение второго неравенства – это интервал (2, +∞).

Шаг 3: Пересечение решений

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство: [0, 3]
• Второе неравенство: (2, +∞)

Пересечение этих двух интервалов будет:

• (2, 3]

Таким образом, совокупность неравенств x² - 3x ≤ 0 и x > 2 имеет решение:

(2, 3]