Как решить уравнение 16*(9 в степени х)-25*(12 в степени х)+9*(16 в степени х)=0?

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями и степенями уравнение алгебра 11 класс решение 16*(9^x) 25*(12^x) 9*(16^x) экспоненциальное уравнение математические методы поиск корней алгебраические преобразования Новый

Для решения уравнения 16*(9^x) - 25*(12^x) + 9*(16^x) = 0 мы будем использовать метод замены переменных, что упростит работу с степенями.

Первым шагом мы заметим, что числа 16, 9 и 12 можно выразить через степени:

• 16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4
• 9 = 3^2
• 12 = 3*4 = 3*2^2

Теперь сделаем замену переменных:

• Обозначим a = 2^x
• Обозначим b = 3^x

Таким образом, у нас получится:

• 16*(9^x) = 16*(b^2) = 16b^2
• 25*(12^x) = 25*(3*4)^x = 25*(b*(a^2)) = 25ab^2
• 9*(16^x) = 9*(a^4)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

16b^2 - 25ab + 9a^4 = 0

Это уравнение является квадратным относительно b. Мы можем решить его с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

Формула корней квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 имеет вид:

b = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A

В нашем случае:

• A = 16
• B = -25a
• C = 9a^4

Теперь подставим эти значения в формулу:

b = (25a ± √((-25a)^2 - 4169a^4)) / (2*16)

Упростим выражение под корнем:

• (-25a)^2 = 625a^2
• 4*16*9a^4 = 576a^4

Таким образом, подкоренное выражение: 625a^2 - 576a^4 можно записать как:

625a^2 - 576a^4 = a^2(625 - 576a^2)

Теперь, подставляя это в выражение для b, мы получаем:

b = (25a ± √(a^2(625 - 576a^2))) / 32

Теперь мы можем выразить b через a и затем вернуться к переменной x, используя обратные замены:

• 2^x = a
• 3^x = b

Таким образом, мы можем найти значения x для каждого из найденных значений b. После этого необходимо проверить, какие из найденных значений удовлетворяют исходному уравнению.

В заключение, решение данного уравнения требует применения методов замены переменных и решения квадратного уравнения, что позволяет значительно упростить задачу и получить искомые значения переменной x.