Чтобы решить уравнение 2^(x²-4x+5) = 1 + sin²(πx/4), давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Анализ левой части уравнения

• Левая часть уравнения 2^(x²-4x+5) является экспоненциальной функцией. Она всегда положительна для любых значений x.

Шаг 2: Анализ правой части уравнения

• Правая часть 1 + sin²(πx/4) также всегда положительна, так как sin²(πx/4) принимает значения от 0 до 1.
• Таким образом, правая часть принимает значения от 1 до 2.

Шаг 3: Определение области значений

• Так как левая часть уравнения 2^(x²-4x+5) всегда положительна, нам нужно определить, когда она равна значению от 1 до 2.
• Для этого рассмотрим неравенство: 1 ≤ 2^(x²-4x+5) ≤ 2.

Шаг 4: Решение неравенства

• Решим первое неравенство: 2^(x²-4x+5) ≥ 1.
• Это неравенство выполняется для всех x, так как 2^(x²-4x+5) всегда больше 0.
• Теперь решим второе неравенство: 2^(x²-4x+5) ≤ 2.
• Это неравенство эквивалентно: x² - 4x + 5 ≤ 1.
• Упрощаем его: x² - 4x + 4 ≤ 0, что можно записать как (x - 2)² ≤ 0.
• Это неравенство выполняется только при x = 2.

Шаг 5: Проверка решения

• Подставим x = 2 в исходное уравнение:
• Левая часть: 2^(2² - 4*2 + 5) = 2^(4 - 8 + 5) = 2^1 = 2.
• Правая часть: 1 + sin²(π*2/4) = 1 + sin²(π/2) = 1 + 1 = 2.
• Обе части равны, значит x = 2 является решением.

Ответ: Уравнение 2^(x²-4x+5) = 1 + sin²(πx/4) имеет единственное решение: x = 2.