Чтобы решить уравнение, если известен один из его корней, мы можем использовать метод деления многочлена. Этот метод позволяет разделить многочлен на линейный множитель, соответствующий известному корню. Давайте рассмотрим каждый из приведенных примеров по порядку.

1. Подставим корень x₁ = 2 в уравнение, чтобы убедиться, что он действительно является корнем:
• 2⁴ + 2³ - 7 * 2² - 2 + 6 = 16 + 8 - 28 - 2 + 6 = 0.
2. Теперь делим многочлен x⁴ + x³ - 7x² - x + 6 на (x - 2) с помощью деления многочленов:
• Результат деления: x³ + 3x² - x - 3.
3. Теперь решаем уравнение x³ + 3x² - x - 3 = 0. Попробуем найти корни этого уравнения:
• Проверяем корень x = 1: 1³ + 3 * 1² - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0.
4. Теперь делим x³ + 3x² - x - 3 на (x - 1), чтобы найти оставшиеся корни:
• Результат деления: x² + 4x + 3 = 0.
5. Решаем квадратное уравнение x² + 4x + 3 = 0:
• Корни: x = -1, x = -3.
6. Итак, все корни уравнения: x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = -1, x₄ = -3.

1. Проверяем корень x₁ = -1:
• 2 * (-1)⁴ + 12 * (-1)³ + 11 * (-1)² + 6 * (-1) + 5 = 2 - 12 + 11 - 6 + 5 = 0.
2. Делим многочлен на (x + 1):
• Результат деления: 2x³ + 10x² + x + 5.
3. Решаем уравнение 2x³ + 10x² + x + 5 = 0. Проверяем корни:
• Проверяем x = -1: 2 * (-1)³ + 10 * (-1)² + (-1) + 5 = 0.
4. Делим на (x + 1) снова:
• Результат: 2x² + 8x + 5 = 0.
5. Решаем квадратное уравнение 2x² + 8x + 5 = 0. Находим корни:
• x = (-8 ± √(64 - 40)) / 4 = (-8 ± √24) / 4.
6. Итак, все корни: x₁ = -1, x₂ = -1, x₃ = -4 + √6, x₄ = -4 - √6.

1. Проверяем корень x₁ = 1/2:
• 2 * (1/2)⁵ - (1/2)⁴ - 12 * (1/2)³ + 6 * (1/2)² + 18 * (1/2) - 9 = 0.
2. Делим многочлен на (x - 1/2):
• Результат деления: 2x⁴ + x³ - 6x² + 3x - 18.
3. Решаем уравнение 2x⁴ + x³ - 6x² + 3x - 18 = 0. Проверяем корни:
4. Находим корни с помощью численных методов или подбора.

1. Проверяем корень x₁ = -1/3:
• 3 * (-1/3)⁵ + (-1/3)⁴ - 15 * (-1/3)³ - 5 * (-1/3)² + 12 * (-1/3) + 4 = 0.
2. Делим многочлен на (x + 1/3):
• Результат деления: 3x⁴ - 4x³ - 2x² + 6x + 12.
3. Решаем уравнение 3x⁴ - 4x³ - 2x² + 6x + 12 = 0. Проверяем корни:
4. Находим корни с помощью численных методов или подбора.

Таким образом, мы можем использовать метод деления многочлена для нахождения всех корней уравнения, если известен хотя бы один корень. Этот процесс может потребовать проверки нескольких корней, пока мы не найдем все возможные решения.