Как решить уравнение: (√х+3) + (√5х-1)=4?

Алгебра 11 класс Решение уравнений с корнями решение уравнения алгебра 11 класс квадратные корни уравнения с корнями математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение (√x + 3) + (√(5x - 1)) = 4, давайте следовать пошаговому процессу.

1. Переносим 3 на правую сторону уравнения:

Мы можем упростить уравнение, вычитая 3 из обеих сторон:

• (√x + 3) + (√(5x - 1)) - 3 = 4 - 3
• Это упрощается до: √x + √(5x - 1) = 1
2. Изолируем один из корней:

Теперь мы можем изолировать один из корней. Давайте изолируем √x:

• √x = 1 - √(5x - 1)
3. Квадратируем обе стороны уравнения:

Чтобы избавиться от квадратного корня, мы квадратируем обе стороны:

• (√x)² = (1 - √(5x - 1))²
• x = 1 - 2√(5x - 1) + (5x - 1)
• x = 5x - 2√(5x - 1)
4. Переносим все члены на одну сторону:

Теперь давайте перенесем все члены на одну сторону уравнения:

• x - 5x + 2√(5x - 1) = 0
• -4x + 2√(5x - 1) = 0
5. Изолируем корень:

Теперь изолируем корень:

• 2√(5x - 1) = 4x
• √(5x - 1) = 2x
6. Квадратируем снова:

Квадратируем обе стороны уравнения:

• (√(5x - 1))² = (2x)²
• 5x - 1 = 4x²
7. Приводим уравнение к стандартному виду:

Переносим все члены на одну сторону:

• 4x² - 5x + 1 = 0
8. Решаем квадратное уравнение:

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения этого уравнения:

• D = b² - 4ac = (-5)² - 4*4*1 = 25 - 16 = 9

Так как D > 0, у нас есть два решения:

• x₁ = (5 + √9) / (2*4) = (5 + 3) / 8 = 1
• x₂ = (5 - √9) / (2*4) = (5 - 3) / 8 = 0.25
9. Проверяем найденные корни:

Важно проверить, подходят ли найденные значения x в исходное уравнение:

• Для x = 1: (√1 + 3) + (√(5*1 - 1)) = (1 + 3) + (√4) = 4 + 2 = 6 (не подходит)
• Для x = 0.25: (√0.25 + 3) + (√(5*0.25 - 1)) = (0.5 + 3) + (√(1.25 - 1)) = 3.5 + 0.5 = 4 (подходит)

Ответ: Решение уравнения: x = 0.25.