Как решить уравнение √(logₓ(√(5x))) = -logₓ(5)?

Алгебра 11 класс Уравнения с логарифмами и корнями уравнение решить уравнение алгебра 11 класс логарифмы корень из логарифма отрицательный логарифм свойства логарифмов математические уравнения Новый

Для решения уравнения √(logₓ(√(5x))) = -logₓ(5) начнем с анализа обеих частей уравнения.

Шаг 1: Изучим область определения.

• Для логарифма logₓ(√(5x)) необходимо, чтобы x > 0 и x ≠ 1, а также 5x > 0, что означает, что x > 0.
• Для logₓ(5) также требуется, чтобы x > 0 и x ≠ 1.

Таким образом, область определения: x > 0 и x ≠ 1.

Шаг 2: Упрощение уравнения.

Поскольку левая часть уравнения содержит квадратный корень, она должна быть неотрицательной. Это значит, что logₓ(√(5x)) ≥ 0. Следовательно:

• logₓ(√(5x)) ≥ 0, что эквивалентно √(5x) ≥ 1.
• Это приводит к неравенству 5x ≥ 1, или x ≥ 1/5.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: -logₓ(5). Поскольку логарифм может быть отрицательным, мы должны учитывать, что logₓ(5) > 0, что происходит при 0 < x < 1.

Таким образом, у нас есть две области: x ≥ 1/5 и 0 < x < 1. Объединяя эти условия, получаем, что x может быть в диапазоне 1/5 ≤ x < 1.

Шаг 3: Преобразуем уравнение.

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

logₓ(√(5x)) = (-logₓ(5))².

Упрощая, получаем:

logₓ(5x) = logₓ(5)².

Шаг 4: Используем свойства логарифмов.

Согласно свойствам логарифмов, logₓ(5x) = logₓ(5) + logₓ(x). Таким образом, уравнение можно переписать как:

logₓ(5) + logₓ(x) = logₓ(5)².

Переносим logₓ(5) в правую часть:

logₓ(x) = logₓ(5² - 5) = logₓ(20).

Шаг 5: Найдем значение x.

Теперь, если logₓ(x) = logₓ(20), это означает, что x = 20.

Шаг 6: Проверка решения.

Проверим, подходит ли x = 20 под условия области определения:

• 20 > 0 и 20 ≠ 1, значит, область определения соблюдается.

Теперь подставим x = 20 в исходное уравнение:

• Левая часть: √(log₂₀(√(5*20))) = √(log₂₀(√100)) = √(log₂₀(10)) = √(1) = 1.
• Правая часть: -log₂₀(5) = -log₂₀(5).

Поскольку log₂₀(5) < 0, то -log₂₀(5) будет положительным, и уравнение не выполняется.

Таким образом, x = 20 не является решением. Проведем дополнительный анализ.

В результате, уравнение не имеет решений в заданной области определения.