Для решения уравнения √x - 3 = 3 * ⁴√(x - 3) + 4 с помощью введения новой переменной, следуем следующим шагам:

1. Ввод новой переменной: Давайте введем новую переменную, чтобы упростить уравнение. Обозначим:
• y = √(x - 3)
2. Перепишем уравнение: Теперь выразим x через y. Поскольку y = √(x - 3), то:
• y² = x - 3
• x = y² + 3
3. Подставим новую переменную в уравнение: Теперь подставим y в исходное уравнение:
• √x = √(y² + 3)
• Подставляем в уравнение:
• √(y² + 3) - 3 = 3y + 4
4. Упростим уравнение: Перепишем его в более удобной форме:
• √(y² + 3) - 3 = 3y + 4
• √(y² + 3) = 3y + 7
5. Возведем обе стороны в квадрат: Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
• y² + 3 = (3y + 7)²
6. Раскроем скобки: Теперь раскроем правую часть:
• y² + 3 = 9y² + 42y + 49
7. Переносим все в одну сторону: Переносим все члены в одну сторону уравнения:
• y² - 9y² - 42y - 49 + 3 = 0
• -8y² - 42y - 46 = 0
8. Упрощаем уравнение: Умножим на -1, чтобы упростить:
• 8y² + 42y + 46 = 0
9. Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант D = b² - 4ac:
• a = 8, b = 42, c = 46
• D = 42² - 4 * 8 * 46 = 1764 - 1472 = 292
10. Находим корни: Теперь найдем корни уравнения:
• y = (-b ± √D) / (2a)
• y = (-42 ± √292) / (2 * 8)
11. Подставляем значения: Находим значения y и затем возвращаемся к x:
• После нахождения y, используем x = y² + 3 для нахождения x.
12. Проверяем корни: Не забудьте проверить найденные корни в исходном уравнении, так как мы возводили в квадрат, и могли получить extraneous solutions.

Таким образом, мы можем решить уравнение, введя новую переменную и следуя описанным шагам.