Как решить уравнение √(x+1) + √(2x+3) = 1 и какие из предложенных вариантов являются правильными?
Также, как найти среднее арифметическое корней уравнения (x² - 25)(x - 3)(x - 6)√(4 - x) = 0 и какие из предложенных вариантов являются правильными?
Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и уравнения с корнями в алгебраических выражениях решение уравнения алгебра 11 класс среднее арифметическое корней уравнение с корнями примеры уравнений алгебраические уравнения методы решения уравнений
Давайте начнем с первого уравнения: √(x+1) + √(2x+3) = 1.
Шаг 1: Изолируем один из корней.
Для этого мы можем выразить один корень через другой. Из уравнения получаем:
√(x+1) = 1 - √(2x+3).
Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат.
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(√(x+1))² = (1 - √(2x+3))².
Это даст нам:
x + 1 = 1 - 2√(2x+3) + (2x + 3).
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Соберем все термины с x и без x:
x + 1 = 2x + 4 - 2√(2x+3).
Теперь перенесем все термины на одну сторону:
2√(2x+3) = 2x + 4 - x - 1.
Получаем:
2√(2x+3) = x + 3.
Шаг 4: Возвращаемся к квадрату.
Теперь снова возводим обе стороны в квадрат:
(2√(2x+3))² = (x + 3)².
Это дает:
4(2x + 3) = x² + 6x + 9.
Упрощаем:
8x + 12 = x² + 6x + 9.
Шаг 5: Приводим уравнение к стандартному виду.
Переносим все на одну сторону:
0 = x² - 2x - 3.
Шаг 6: Решаем квадратное уравнение.
Теперь решим уравнение x² - 2x - 3 = 0:
Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
Находим дискриминант:
D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
Теперь находим корни:
x₁ = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3,
x₂ = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.
Шаг 7: Проверяем корни.
Теперь проверим, подходят ли найденные корни для исходного уравнения:
Для x = 3:
√(3 + 1) + √(2*3 + 3) = √4 + √9 = 2 + 3 = 5 (не подходит).
Для x = -1:
√(-1 + 1) + √(2*(-1) + 3) = √0 + √1 = 0 + 1 = 1 (подходит).
Ответ: Корень уравнения: x = -1.
Теперь перейдем ко второму уравнению: (x² - 25)(x - 3)(x - 6)√(4 - x) = 0.
Шаг 1: Находим корни каждого множителя.
Шаг 2: Собираем все корни.
Корни уравнения: x = 5, x = -5, x = 3, x = 6, x = 4.
Шаг 3: Находим среднее арифметическое корней.
Сначала найдем сумму всех корней:
Сумма = 5 + (-5) + 3 + 6 + 4 = 9.
Теперь делим сумму на количество корней:
Количество корней = 5.
Среднее арифметическое = 9 / 5 = 1.8.
Ответ: Среднее арифметическое корней: 1.8.