Как решить уравнение x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения четвертой степени решение уравнения алгебра 11 класс x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 корни уравнения методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0, мы можем использовать метод деления многочленов и теорему о корнях.

Шаг 1: Попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае 1), а q - делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).

• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: 1 и -1.

Шаг 2: Проверим, является ли 1 корнем уравнения. Подставим x = 1:

1^4 - 1^3 - 4*1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 4 - 1 + 1 = -4

1 не является корнем.

Шаг 3: Проверим, является ли -1 корнем уравнения. Подставим x = -1:

(-1)^4 - (-1)^3 - 4*(-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 - 4 + 1 + 1 = 0

-1 является корнем уравнения.

Шаг 4: Теперь, когда мы нашли корень, мы можем использовать деление многочлена, чтобы упростить уравнение. Разделим исходный многочлен на (x + 1) с помощью синтетического деления или деления столбиком.

После деления мы получим:

x^3 - 2x^2 - 6x + 1 = 0

Шаг 5: Теперь нам нужно решить уравнение x^3 - 2x^2 - 6x + 1 = 0. Мы можем попробовать найти еще один корень, используя те же рациональные корни, которые мы проверяли ранее.

Проверим, например, x = 2:

2^3 - 2*2^2 - 6*2 + 1 = 8 - 8 - 12 + 1 = -11

2 не является корнем.

Проверим x = -1:

(-1)^3 - 2*(-1)^2 - 6*(-1) + 1 = -1 - 2 + 6 + 1 = 4

-1 не является корнем.

Проверим x = 3:

3^3 - 2*3^2 - 6*3 + 1 = 27 - 18 - 18 + 1 = -8

3 не является корнем.

Шаг 6: После проверки нескольких значений, если мы не нашли корень, можно использовать численные методы или графические методы для нахождения корней. Однако, если мы продолжим проверять, например, x = -2:

(-2)^3 - 2*(-2)^2 - 6*(-2) + 1 = -8 - 8 + 12 + 1 = -3

И так далее, пока не найдем остальные корни.

Шаг 7: Если мы не можем найти корни, можно использовать метод Ньютона или другие методы численного анализа для нахождения корней уравнения. Также можно использовать графический метод, чтобы увидеть, где график функции пересекает ось x.

В итоге, после нахождения всех корней, мы можем записать их в виде множителей уравнения.

Таким образом, уравнение x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0 имеет корень x = -1, и для нахождения остальных корней мы можем использовать численные методы.