Как решить уравнение √(x⁴-2x³-3x²+6x) * cos(x) = 0 и найти корни на отрезке [-10; √21]?
Я совсем забыла, как это делается. Можешь, пожалуйста, объяснить каждый шаг подробно?

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и тригонометрическими функциями решение уравнения корни уравнения алгебра 11 класс √(x⁴-2x³-3x²+6x) cos(x) отрезок [-10; √21] шаги решения уравнения алгебраические методы Новый

Решим уравнение √(x⁴-2x³-3x²+6x) * cos(x) = 0. Это уравнение состоит из двух множителей: корня и косинуса. Чтобы упростить решение, сначала разберем каждый из множителей.

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это значит, что мы можем рассмотреть два случая:

1. Первый случай: √(x⁴-2x³-3x²+6x) = 0
2. Второй случай: cos(x) = 0

Теперь давайте подробно разберем каждый случай.

Первый случай: √(x⁴-2x³-3x²+6x) = 0

Чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю. То есть:

x⁴ - 2x³ - 3x² + 6x = 0

Теперь можно вынести общий множитель из этого уравнения. Заметим, что x можно вынести:

x(x³ - 2x² - 3x + 6) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

• Первый множитель: x = 0
• Второй множитель: x³ - 2x² - 3x + 6 = 0

Теперь решим уравнение x³ - 2x² - 3x + 6 = 0. Для этого можно использовать метод подбора корней или деление многочлена. Попробуем найти рациональные корни:

Проверим значения x = 1, x = 2, и x = -1:

• Для x = 1: 1³ - 2(1)² - 3(1) + 6 = 1 - 2 - 3 + 6 = 2 (не корень)
• Для x = 2: 2³ - 2(2)² - 3(2) + 6 = 8 - 8 - 6 + 6 = 0 (корень)
• Для x = -1: (-1)³ - 2(-1)² - 3(-1) + 6 = -1 - 2 + 3 + 6 = 6 (не корень)

Теперь, когда мы нашли корень x = 2, можем использовать деление многочлена для нахождения остальных корней. Разделим x³ - 2x² - 3x + 6 на (x - 2):

После деления получаем:

x² + 0x - 3 = 0

Теперь решим уравнение x² - 3 = 0:

x² = 3

Таким образом, x = ±√3. Теперь у нас есть следующие корни из первого случая:

• x = 0
• x = 2
• x = √3
• x = -√3

Теперь проверим, какие из этих корней лежат в отрезке [-10; √21]. Все эти корни находятся в указанном отрезке.

Второй случай: cos(x) = 0

Косинус равен нулю, когда:

x = (2k + 1) * π / 2, где k - целое число

Теперь найдем значения x, которые попадают в отрезок [-10; √21]. Поскольку √21 примерно равно 4.58, нам нужно искать значения косинуса в этом диапазоне.

Рассмотрим k = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2:

• k = -4: x = -3π/2 ≈ -4.71 (не подходит)
• k = -3: x = -π/2 ≈ -1.57 (подходит)
• k = -2: x = π/2 ≈ 1.57 (подходит)
• k = -1: x = 3π/2 ≈ 4.71 (не подходит)
• k = 0: x = π ≈ 3.14 (подходит)
• k = 1: x = 5π/2 ≈ 7.85 (не подходит)

Таким образом, корни второго случая:

• x = -π/2
• x = π/2
• x = π

Итак, все корни уравнения √(x⁴-2x³-3x²+6x) * cos(x) = 0 на отрезке [-10; √21]:

• x = 0
• x = 2
• x = √3
• x = -√3
• x = -π/2
• x = π/2
• x = π

Надеюсь, это помогло вам вспомнить, как решать подобные уравнения!