Как с помощью метода Эйлера можно составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y' = f(x,y), которое соответствует начальным условиям y₀(1.8) = 2.6 на интервале [1.8; 2.8] с шагом h = 0.1? Все вычисления необходимо проводить с точностью до четырех десятичных знаков. Уравнение: y' = x + cos(y/√5>

Алгебра 11 класс Численные методы решения дифференциальных уравнений метод Эйлера приближенные значения интеграл Дифференциальное уравнение начальные условия шаг вычисления точность алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи с использованием метода Эйлера, давайте сначала разберем, что нам нужно сделать. Метод Эйлера позволяет находить приближенные значения решения дифференциального уравнения, используя начальные условия и шаг. В нашем случае у нас есть дифференциальное уравнение:

y' = f(x, y) = x + cos(y/√5)

Начальные условия: y(1.8) = 2.6

Интервал: [1.8; 2.8]

Шаг: h = 0.1

Теперь давайте составим таблицу приближенных значений. Метод Эйлера работает по следующему принципу:

1. Находим значение функции f(x, y) в текущей точке.
2. Используя это значение, вычисляем новое значение y по формуле:
3. y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)
4. Обновляем значение x: x_{n+1} = x_n + h

Начнем с x_0 = 1.8 и y_0 = 2.6. Теперь будем вычислять значения до x = 2.8.

Шаги вычислений:

• Шаг 0: x = 1.8, y = 2.6
• f(1.8, 2.6) = 1.8 + cos(2.6/√5) ≈ 1.8 + 0.3746 ≈ 2.1746
• y_1 = 2.6 + 0.1 * 2.1746 ≈ 2.6 + 0.2175 ≈ 2.8175
• x_1 = 1.8 + 0.1 = 1.9
• Шаг 1: x = 1.9, y = 2.8175
• f(1.9, 2.8175) = 1.9 + cos(2.8175/√5) ≈ 1.9 + 0.3490 ≈ 2.2490
• y_2 = 2.8175 + 0.1 * 2.2490 ≈ 2.8175 + 0.2249 ≈ 3.0424
• x_2 = 1.9 + 0.1 = 2.0
• Шаг 2: x = 2.0, y = 3.0424
• f(2.0, 3.0424) = 2.0 + cos(3.0424/√5) ≈ 2.0 + 0.2756 ≈ 2.2756
• y_3 = 3.0424 + 0.1 * 2.2756 ≈ 3.0424 + 0.2276 ≈ 3.2700
• x_3 = 2.0 + 0.1 = 2.1
• Шаг 3: x = 2.1, y = 3.2700
• f(2.1, 3.2700) = 2.1 + cos(3.2700/√5) ≈ 2.1 + 0.1860 ≈ 2.2860
• y_4 = 3.2700 + 0.1 * 2.2860 ≈ 3.2700 + 0.2286 ≈ 3.4986
• x_4 = 2.1 + 0.1 = 2.2
• Шаг 4: x = 2.2, y = 3.4986
• f(2.2, 3.4986) = 2.2 + cos(3.4986/√5) ≈ 2.2 + 0.0831 ≈ 2.2831
• y_5 = 3.4986 + 0.1 * 2.2831 ≈ 3.4986 + 0.2283 ≈ 3.7269
• x_5 = 2.2 + 0.1 = 2.3
• Шаг 5: x = 2.3, y = 3.7269
• f(2.3, 3.7269) = 2.3 + cos(3.7269/√5) ≈ 2.3 + (-0.0204) ≈ 2.2796
• y_6 = 3.7269 + 0.1 * 2.2796 ≈ 3.7269 + 0.2279 ≈ 3.9548
• x_6 = 2.3 + 0.1 = 2.4
• Шаг 6: x = 2.4, y = 3.9548
• f(2.4, 3.9548) = 2.4 + cos(3.9548/√5) ≈ 2.4 + (-0.1240) ≈ 2.2760
• y_7 = 3.9548 + 0.1 * 2.2760 ≈ 3.9548 + 0.2276 ≈ 4.1824
• x_7 = 2.4 + 0.1 = 2.5
• Шаг 7: x = 2.5, y = 4.1824
• f(2.5, 4.1824) = 2.5 + cos(4.1824/√5) ≈ 2.5 + (-0.2239) ≈ 2.2761
• y_8 = 4.1824 + 0.1 * 2.2761 ≈ 4.1824 + 0.2276 ≈ 4.4100
• x_8 = 2.5 + 0.1 = 2.6
• Шаг 8: x = 2.6, y = 4.4100
• f(2.6, 4.4100) = 2.6 + cos(4.4100/√5) ≈ 2.6 + (-0.3090) ≈ 2.2910
• y_9 = 4.4100 + 0.1 * 2.2910 ≈ 4.4100 + 0.2291 ≈ 4.6391
• x_9 = 2.6 + 0.1 = 2.7
• Шаг 9: x = 2.7, y = 4.6391
• f(2.7, 4.6391) = 2.7 + cos(4.6391/√5) ≈ 2.7 + (-0.3827) ≈ 2.3173
• y_{10} = 4.6391 + 0.1 * 2.3173 ≈ 4.6391 + 0.2317 ≈ 4.8708
• x_{10} = 2.7 + 0.1 = 2.8

Теперь у нас есть значения для каждого шага. Мы можем представить их в виде таблицы:

x	y
1.8	2.6000
1.9	2.8175
2.0	3.0424
2.1	3.2700
2.2	3.4986
2.3	3.7269
2.4	3.9548
2.5	4.1824
2.6	4.4100
2.7	4.6391
2.8	4.8708

Таким образом, мы получили приближенные значения функции y на интервале от 1.8 до 2.8 с шагом 0.1 с помощью метода Эйлера.