Давайте начнем с того, что у нас есть уравнение:

a² - a + 1 = 0

Сначала найдем корни этого уравнения. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -1
• c = 1

Подставим значения в формулу:

a = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * 1)) / (2 * 1)

Теперь вычислим дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексные:

a = (1 ± √(-3)) / 2 = (1 ± i√3) / 2

Теперь у нас есть два корня:

a1 = (1 + i√3) / 2

a2 = (1 - i√3) / 2

Теперь мы хотим вычислить сумму:

S = a^2006 + 1/a^2006

Для этого воспользуемся свойством, что если a является корнем уравнения, то:

1/a = (1 - a)/(a²) = (1 - a)/(a - a + 1) = (1 - a) (так как a² = a - 1)

Теперь мы можем выразить 1/a через a:

1/a = (1 - a)

Таким образом, мы можем записать:

S = a^2006 + (1 - a)^2006

Теперь воспользуемся формулой бинома Ньютона для выражения (1 - a)^2006:

(1 - a)^n = Σ (C(n, k) * (-a)^k), где C(n, k) - биномиальные коэффициенты.

Теперь заметим, что:

S = a^2006 + (1 - a)^2006 = a^2006 + Σ (C(2006, k) * (-a)^k)

Однако, чтобы упростить вычисления, заметим, что:

a + 1/a = 1

Теперь, используя формулу для суммы:

S_n = a^n + 1/a^n

Мы можем заметить, что:

S_n = S_{n-1} + S_{n-2}, где S_0 = 2 и S_1 = 1.

Итак, мы видим, что последовательность S_n будет повторяться, и мы можем вычислить S_2006, используя эту рекурсию.

Таким образом, мы можем заключить, что:

S = 1 для всех четных n, так как S_n будет равно 2 и S_1 будет равно 1.

Следовательно, итоговая сумма:

a^2006 + 1/a^2006 = 1