Чтобы выполнить исследование функции y = x^3 + 6x^2 - 15x + 8 и построить её график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Функция y = x^3 + 6x^2 - 15x + 8 является многочленом, и область определения многочлена — это все действительные числа. Таким образом, область определения: R.

Для исследования функции необходимо найти её первую производную:

• y' = 3x^2 + 12x - 15

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем нули производной:

• 3x^2 + 12x - 15 = 0

Упростим уравнение, разделив на 3:

• x^2 + 4x - 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36

Корни уравнения:

• x1 = (-b + √D) / 2a = (-4 + 6) / 2 = 1
• x2 = (-b - √D) / 2a = (-4 - 6) / 2 = -5

Таким образом, критические точки: x1 = 1 и x2 = -5.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, определенных критическими точками: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

• Для x < -5 (например, x = -6): y' = 3(-6)^2 + 12(-6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 (положительно)
• Для -5 < x < 1 (например, x = 0): y' = 3(0)^2 + 12(0) - 15 = -15 (отрицательно)
• Для x > 1 (например, x = 2): y' = 3(2)^2 + 12(2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 (положительно)

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -5) и (1, +∞), и убывает на интервале (-5, 1).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) + 8 = -125 + 150 + 75 + 8 = 108
• y(1) = (1)^3 + 6(1)^2 - 15(1) + 8 = 1 + 6 - 15 + 8 = 0

Таким образом, мы имеем:

• Критическая точка (-5, 108) — максимум
• Критическая точка (1, 0) — минимум

Теперь необходимо проанализировать поведение функции при x → ±∞:

• При x → -∞, y → -∞
• При x → +∞, y → +∞

Теперь, имея всю информацию, можно построить график функции:

• График будет иметь максимум в точке (-5, 108).
• График будет иметь минимум в точке (1, 0).
• Функция возрастает на интервалах (-∞, -5) и (1, +∞) и убывает на интервале (-5, 1).

Собрав все данные, вы можете нарисовать график функции, отмечая критические точки и поведение на границах.