Как выполнить полное исследование функции и построить график для уравнения y=2x^2-x^4-1?

Алгебра 11 класс Полное исследование функции и построение графика функции полное исследование функции построение графика уравнение y=2x^2-x^4-1 алгебра 11 класс анализ функции график уравнения математический анализ свойства функции Новый

Для выполнения полного исследования функции y = 2x^2 - x^4 - 1, нам необходимо пройти несколько этапов. Давайте разберём каждый из них по порядку.

1. Нахождение области определения функции:

Функция y = 2x^2 - x^4 - 1 является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения функции:

• Область определения: x ∈ R.

2. Нахождение производной:

Для нахождения экстремумов функции вычислим первую производную:

• y' = d(2x^2 - x^4 - 1)/dx = 4x - 4x^3.

3. Нахождение критических точек:

Теперь найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

• 4x - 4x^3 = 0.
• 4x(1 - x^2) = 0.

Отсюда получаем:

• x = 0,
• 1 - x^2 = 0 → x = ±1.

Таким образом, критические точки: x = -1, 0, 1.

4. Исследование знака производной:

Для определения, где функция возрастает или убывает, исследуем знак производной на интервалах:

• Интервал (-∞, -1): y' > 0 (функция возрастает);
• Интервал (-1, 0): y' < 0 (функция убывает);
• Интервал (0, 1): y' < 0 (функция убывает);
• Интервал (1, +∞): y' > 0 (функция возрастает).

5. Нахождение значений функции в критических точках:

• y(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0;
• y(0) = 2(0)^2 - (0)^4 - 1 = -1;
• y(1) = 2(1)^2 - (1)^4 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0.

6. Определение типа экстремумов:

Теперь определим, какие из критических точек являются максимумами, а какие минимумами:

• x = -1: максимум (функция возрастает до -1 и убывает после);
• x = 0: минимум (функция убывает до 0 и возрастает после);
• x = 1: максимум (функция возрастает до 1 и убывает после).

7. Нахождение пределов функции:

Исследуем поведение функции при x → ±∞:

• lim (x→-∞) y = -∞;
• lim (x→+∞) y = -∞.

8. Построение графика:

Собрав все данные, мы можем построить график функции. У нас есть:

• Критические точки: (-1, 0), (0, -1), (1, 0);
• Максимумы в точках x = -1 и x = 1;
• Минимум в точке x = 0;
• График уходит в -∞ при x → ±∞.

На основе этих данных вы можете нарисовать график функции, который будет иметь форму "перевернутой параболы".

Таким образом, мы выполнили полное исследование функции y = 2x^2 - x^4 - 1 и можем построить её график, учитывая все найденные характеристики.