Какие основные свойства и графики имеют функции y = tg x и y = ctg x? Как можно применять геометрические преобразования для построения графиков тригонометрических функций?

Задание 1: Построить график функции y = cos(x−π)−4.

Задание 2: Построить график функции y = |tgx - 2|.

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их графики функции y = tg x функции y = ctg x графики тригонометрических функций геометрические преобразования график функции y = cos(x−π) график функции y = |tgx - 2| свойства тригонометрических функций алгебра 11 класс

Основные свойства функций y = tg x и y = ctg x:

• Функция y = tg x имеет период π и вертикальные асимптоты в точках x = (2n + 1)π/2, где n - целое число.
• Функция y = ctg x также имеет период π и вертикальные асимптоты в точках x = nπ, где n - целое число.
• tg x принимает значения от -∞ до +∞, а ctg x принимает значения от +∞ до -∞.
• График tg x проходит через начало координат, а график ctg x - через точки (π/2, 0) и (3π/2, 0).

Геометрические преобразования для построения графиков:

• Сдвиг: изменение аргумента функции, например, y = f(x - a) сдвигает график на a единиц вправо.
• Масштабирование: изменение коэффициента перед x, например, y = f(kx) сжимает или растягивает график по оси x.
• Смещение по оси y: добавление постоянного значения, например, y = f(x) + b сдвигает график на b единиц вверх или вниз.

Задание 1: Построить график функции y = cos(x−π)−4.

График функции y = cos(x) сдвинут на π вправо и опущен на 4 единицы вниз.

Задание 2: Построить график функции y = |tgx - 2|.

График y = tg x сдвинут на 2 единицы вверх, а затем отражен относительно оси x, что создает "впадины" на графике.

Давайте разберем основные свойства и графики функций y = tg x и y = ctg x, а затем перейдем к вашим заданиям.

Основные свойства функций y = tg x и y = ctg x:

• Функция y = tg x:
  • Область определения: x ≠ π/2 + kπ, где k – целое число (из-за вертикальных асимптот).
  • Период: π (график повторяется каждые π единиц).
  • Значения функции: принимает все действительные числа.
  • График: проходит через точки (0, 0), (π, 0), и т.д. Имеет вертикальные асимптоты.
• Функция y = ctg x:
  • Область определения: x ≠ kπ, где k – целое число (из-за вертикальных асимптот).
  • Период: π.
  • Значения функции: также принимает все действительные числа.
  • График: проходит через точки (π/2, 0), (3π/2, 0), и т.д. Имеет вертикальные асимптоты.

Геометрические преобразования для построения графиков тригонометрических функций:

• Смещение по оси X: y = f(x - a) сдвигает график на a единиц вправо.
• Смещение по оси Y: y = f(x) + b сдвигает график на b единиц вверх.
• Умножение: y = k * f(x) растягивает или сжимает график по оси Y в зависимости от значения k.

Теперь перейдем к вашим заданиям.

Задание 1: Построить график функции y = cos(x - π) - 4.

1. Начнем с функции y = cos(x). Это косинус, который имеет период 2π и колеблется между -1 и 1.
2. Смещение по оси X: функция y = cos(x - π) сдвигает график косинуса на π единиц вправо.
3. Смещение по оси Y: вычитание 4 из функции y = cos(x - π) перемещает график вниз на 4 единицы.
4. Таким образом, максимальное значение функции будет -3, а минимальное -5.
5. Построив график, вы увидите, что он колеблется между -5 и -3, проходя через точки, соответствующие значениям косинуса.

Задание 2: Построить график функции y = |tg x - 2|.

1. Начнем с функции y = tg x. Она имеет вертикальные асимптоты и период π.
2. Сначала сместим график tg x вниз на 2 единицы, получая график y = tg x - 2. Это означает, что все точки графика tg x будут сдвинуты вниз.
3. Теперь применим модуль: y = |tg x - 2|. Это означает, что все отрицательные значения функции tg x - 2 будут отражены относительно оси X.
4. Таким образом, график будет находиться выше оси X, и будет иметь "V"-образные формы в тех местах, где tg x - 2 принимает отрицательные значения.

Надеюсь, это поможет вам в построении графиков и понимании свойств тригонометрических функций!