Какие виды разрывов могут быть у дробно-рациональной функции?

Алгебра 11 класс Разрывы дробно-рациональных функций разрывы дробно-рациональной функции виды разрывов алгебра 11 класс функции в алгебре анализ функций Новый

Дробно-рациональная функция — это функция, которая представляется в виде дроби, где числитель и знаменатель являются многочленами. Разрывы дробно-рациональной функции могут возникать в нескольких случаях. Рассмотрим основные виды разрывов:

1. Разрыв первого рода (устранимый разрыв):

• Этот вид разрыва возникает, когда знаменатель функции равен нулю, но числитель также равен нулю в той же точке.
• Пример: f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). В этой функции, при x = 1, и числитель, и знаменатель равны нулю. Однако, если мы упростим функцию, мы получим f(x) = (x + 1), которая определена при x = 1.
• Следовательно, разрыв можно устранить, подставив значение x = 1 в упрощенную функцию.

2. Разрыв второго рода (неустранимый разрыв):

• Этот вид разрыва возникает, когда знаменатель функции равен нулю, а числитель не равен нулю в той же точке.
• Пример: g(x) = 1 / (x - 2). Здесь, при x = 2, знаменатель равен нулю, а числитель равен 1. Это приводит к тому, что функция не определена в этой точке.
• Разрыв второго рода нельзя устранить, и функция будет иметь вертикальную асимптоту в этой точке.

3. Разрыв бесконечного типа:

• Этот разрыв возникает, когда функция стремится к бесконечности при приближении к определенной точке.
• Пример: h(x) = 1 / (x^2 - 4). Здесь, при x = 2 и x = -2, знаменатель равен нулю, и функция стремится к бесконечности.
• В этих точках будут вертикальные асимптоты, и функция не будет определена.

Таким образом, дробно-рациональные функции могут иметь как устранимые, так и неустранимые разрывы, а также разрывы бесконечного типа. Важно уметь определять тип разрыва, чтобы правильно анализировать поведение функции в окрестности этих точек.