Какое количество корней уравнения √2016 - x^2 * ( |1 - cos(x)| - sin(x)) = 0?

Помогите, пожалуйста)

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями и тригонометрические функции корни уравнения алгебра 11 класс уравнение с корнем решение уравнения математический анализ Новый

Чтобы решить уравнение √2016 - x² * (|1 - cos(x)| - sin(x)) = 0, начнем с того, что мы можем переписать его в более удобной форме:

√2016 = x² * (|1 - cos(x)| - sin(x)).

Теперь рассмотрим обе части уравнения. Слева у нас есть √2016, что является положительным числом, так как √2016 ≈ 44.87. Справа у нас x² * (|1 - cos(x)| - sin(x)). Поскольку x² всегда неотрицательно (x² ≥ 0), мы можем сделать вывод, что правая часть уравнения также должна быть неотрицательной.

Теперь рассмотрим выражение (|1 - cos(x)| - sin(x)).

• Когда cos(x) ≤ 1, |1 - cos(x)| = 1 - cos(x).
• Когда cos(x) > 1, |1 - cos(x)| = cos(x) - 1, но это невозможно, так как cos(x) не может превышать 1.

Таким образом, в любом случае |1 - cos(x)| = 1 - cos(x).

Теперь подставим это в уравнение:

x² * (1 - cos(x) - sin(x)) = √2016.

Чтобы найти количество корней, необходимо проанализировать функцию f(x) = 1 - cos(x) - sin(x).

Рассмотрим поведение функции f(x):

• f(x) периодична с периодом 2π.
• На каждом периоде функция будет принимать как положительные, так и отрицательные значения, так как |sin(x)| и |cos(x)| изменяются от -1 до 1.

Теперь давайте проанализируем, когда f(x) = 0:

Это будет происходить, когда 1 - cos(x) = sin(x), что можно переписать как:

1 = sin(x) + cos(x).

Решим это уравнение. Мы знаем, что максимальное значение sin(x) + cos(x) достигается при x = π/4 и равно √2. Это значение меньше 2, следовательно, уравнение 1 = sin(x) + cos(x) имеет решения.

Теперь, чтобы найти количество корней уравнения, мы можем заметить, что функция g(x) = x² * f(x) будет пересекаться с линией y = √2016.

Так как f(x) периодична и меняет знак, мы можем утверждать, что на каждом периоде (от 0 до 2π) будет два пересечения с линией y = √2016.

Поскольку период функции f(x) равен 2π, и √2016 > 0, мы можем утверждать, что на каждом периоде будет по два корня.

Теперь давайте определим, сколько периодов помещается в интервале от -∞ до +∞. Так как функция x² растет до бесконечности, можно утверждать, что количество корней будет бесконечным.

Ответ: У уравнения бесконечно много корней.