Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим выражение x^2 - 57x + 2870 и определим, при каком значении x оно будет полным квадратом.

Полный квадрат имеет вид (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, где a и b - некоторые числа. Мы можем попробовать выразить наше квадратное уравнение в таком виде.

Для начала, давайте выделим полный квадрат в нашем выражении:

1. Сначала выделим квадратный триномиал: x^2 - 57x. Для этого найдем половину коэффициента при x, возведем его в квадрат:
   • Половина от 57 равна 28.5.
   • Квадрат этой половины: (28.5)^2 = 812.25.
2. Теперь, чтобы выделить полный квадрат, мы можем записать: x^2 - 57x + 812.25 - 812.25 + 2870 = (x - 28.5)^2 + 2057.75.

Теперь нам нужно, чтобы (x - 28.5)^2 + 2057.75 было полным квадратом. Для этого мы можем записать:

(x - 28.5)^2 = k^2 - 2057.75, где k - некоторое целое число.

Решим неравенство:

1. Чтобы k^2 - 2057.75 было неотрицательным, необходимо, чтобы k^2 >= 2057.75.
2. Находим минимальное целое значение k:
   • Корень из 2057.75 примерно равен 45.4.
   • Следовательно, k должен быть не менее 46.

Теперь подставляем значение k = 46:

(x - 28.5)^2 = 46^2 - 2057.75 = 2116 - 2057.75 = 58.25.

Теперь находим значение x:

1. Извлекаем корень: x - 28.5 = ±√58.25.
2. Находим корень из 58.25, который примерно равен 7.62.
3. Теперь у нас есть два значения:
   • x = 28.5 + 7.62 ≈ 36.12
   • x = 28.5 - 7.62 ≈ 20.88

Оба значения не являются целыми, но максимальное целое значение x, которое мы можем взять, это 36.

Таким образом, максимальное целое значение x, при котором выражение x^2 - 57x + 2870 является полным квадратом, равно 36.