Для решения данной задачи начнем с анализа неравенства, которое нам дано: x² – 6xy + y² + 21 ≤ 0. Это неравенство описывает область в координатной плоскости, и чтобы найти наименьшее положительное значение выражения x + 5y, нам нужно понять, при каких значениях x и y это неравенство выполняется.

1. Сначала перепишем неравенство в более удобной форме. Мы можем выразить его как:

• x² - 6xy + y² ≤ -21.

2. Теперь заметим, что левая часть является квадратом. Попробуем привести это выражение к квадрату. Мы можем заметить, что:

• (x - 3y)² = x² - 6xy + 9y².

Это позволяет нам записать:

• (x - 3y)² + (y² - 9y²) ≤ -21.

3. Таким образом, мы получаем:

• (x - 3y)² - 8y² ≤ -21.

4. Теперь, чтобы найти наименьшее положительное значение выражения x + 5y, мы можем попробовать выразить x через y. Из неравенства видно, что для выполнения условия, (x - 3y)² должно быть достаточно большим, чтобы сумма была меньше или равна -21. Это означает, что (x - 3y)² должна быть больше 8y² - 21. Мы можем попробовать подставить разные значения y и находить соответствующие x.

5. Рассмотрим, например, y = 1. Подставляем в неравенство:

• (x - 3*1)² - 8*1² ≤ -21
• (x - 3)² - 8 ≤ -21
• (x - 3)² ≤ -13.

Это неравенство не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

6. Теперь попробуем y = 2:

• (x - 3*2)² - 8*2² ≤ -21
• (x - 6)² - 32 ≤ -21
• (x - 6)² ≤ 11.

Это неравенство имеет решения:

• -√11 + 6 ≤ x ≤ √11 + 6.

7. Теперь найдем значение выражения x + 5y при y = 2:

• Минимальное значение x: -√11 + 6 + 10 = -√11 + 16.
• Максимальное значение x: √11 + 6 + 10 = √11 + 16.

8. Для нахождения наименьшего положительного значения мы можем подставить y = 2 и x = 6, что дает:

• 6 + 10 = 16.

Таким образом, наименьшее положительное значение выражения x + 5y при условии, что x² – 6xy + y² + 21 ≤ 0, равно 16.