Решим неравенство (x^2 - 3x - 10) / ((x^2 + 2x)^2) ≤ 0 шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем корни числителя и знаменателя.

• Числитель: x^2 - 3x - 10 = 0.

Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -10.

• Дискриминант D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
• Корни: x1 = (3 + √49) / 2 = (3 + 7) / 2 = 5 и x2 = (3 - √49) / 2 = (3 - 7) / 2 = -2.

Таким образом, корни числителя: x1 = 5 и x2 = -2.

• Знаменатель: (x^2 + 2x)^2 = 0.

Решим уравнение x^2 + 2x = 0:

• x(x + 2) = 0.
• Корни: x1 = 0 и x2 = -2.

Знаменатель равен нулю в точках x = 0 и x = -2. Однако точка x = -2 также является корнем числителя, что потребует отдельного анализа.

Шаг 2: Определим интервалы.

Корни: -2, 0, 5. Разделим числовую ось на интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 0)
• (0, 5)
• (5, +∞)

Шаг 3: Определим знак функции на каждом интервале.

• Для интервала (-∞, -2): выберем, например, x = -3. Подставляем в неравенство:
• (9 + 9 - 10) / (9 - 6) > 0 (положительное).
• Для интервала (-2, 0): выберем x = -1:
• (1 + 3 - 10) / (1 - 2) < 0 (отрицательное).
• Для интервала (0, 5): выберем x = 1:
• (1 - 3 - 10) / (1 + 2)^2 < 0 (отрицательное).
• Для интервала (5, +∞): выберем x = 6:
• (36 - 18 - 10) / (36 + 12)^2 > 0 (положительное).

Шаг 4: Подводим итоги по интервалам.

Неравенство (x^2 - 3x - 10) / ((x^2 + 2x)^2) ≤ 0 выполняется на интервалах:

• (-2, 0) и (0, 5).

Также нужно учесть, что в точке x = -2 функция не определена, а в точке x = 0 функция равна нулю.

Шаг 5: Найдем целые решения.

Целые решения на интервалах:

• (-2, 0): целое решение x = -1.
• (0, 5): целые решения x = 1, 2, 3, 4.

Таким образом, целые решения: -1, 1, 2, 3, 4.

Шаг 6: Найдем наибольшее целое решение и количество целых решений.

• Наибольшее целое решение: 4.
• Количество целых решений: 5.

Шаг 7: Найдем произведение наибольшего целого решения и количества целых решений.

Произведение = 4 * 5 = 20.

Ответ: 20.