2025-03-12 18:48:34
Какое значение имеет выражение (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12))?
Алгебра 11 класс Показательные и логарифмические функции значение выражения алгебра 11 класс 625 степень косинус синус Тригонометрия математические выражения
2025-03-12 18:48:52
Чтобы найти значение выражения (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)), давайте разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Упростим основание 625.Первым делом заметим, что 625 можно представить в виде степени числа 5:
- 625 = 5^4
Теперь мы можем переписать исходное выражение:
- (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) = ((5^4)^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12))
Используем правило степеней (a^m)^n = a^(m*n):
- ((5^4)^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) = 5^(4 * (-cos(π/12)) * sin(13π/12))
Теперь нам нужно найти значения cos(π/12) и sin(13π/12).
- cos(π/12) можно найти, используя формулу половинного угла:
- cos(π/12) = cos(15°) = √(6 + 2√3)/4
- sin(13π/12) = sin(π + π/12) = -sin(π/12) = -√(6 - 2√3)/4
Теперь подставим найденные значения в выражение:
- 4 * (-cos(π/12)) * sin(13π/12) = 4 * (-√(6 + 2√3)/4) * (-√(6 - 2√3)/4)
- Упрощаем: = (√(6 + 2√3) * √(6 - 2√3))/4
Теперь используем формулу произведения корней:
- √(6 + 2√3) * √(6 - 2√3) = √((6 + 2√3)(6 - 2√3)) = √(36 - (2√3)^2) = √(36 - 12) = √24 = 2√6
Теперь мы можем подставить это обратно в выражение:
- 5^(2√6 / 4) = 5^(√6 / 2)
Таким образом, значение выражения (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) равно 5^(√6 / 2).
