Какое значение имеет выражение (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12))?

Алгебра 11 класс Показательные и логарифмические функции значение выражения алгебра 11 класс 625 степень косинус синус Тригонометрия математические выражения Новый

Чтобы найти значение выражения (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)), давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим основание 625.

Первым делом заметим, что 625 можно представить в виде степени числа 5:

• 625 = 5^4

Шаг 2: Подставим это в выражение.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

• (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) = ((5^4)^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12))

Шаг 3: Упростим степень.

Используем правило степеней (a^m)^n = a^(m*n):

• ((5^4)^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) = 5^(4 * (-cos(π/12)) * sin(13π/12))

Шаг 4: Найдем значения косинуса и синуса.

Теперь нам нужно найти значения cos(π/12) и sin(13π/12).

• cos(π/12) можно найти, используя формулу половинного угла:
• cos(π/12) = cos(15°) = √(6 + 2√3)/4
• sin(13π/12) = sin(π + π/12) = -sin(π/12) = -√(6 - 2√3)/4

Шаг 5: Подставим значения в выражение.

Теперь подставим найденные значения в выражение:

• 4 * (-cos(π/12)) * sin(13π/12) = 4 * (-√(6 + 2√3)/4) * (-√(6 - 2√3)/4)
• Упрощаем: = (√(6 + 2√3) * √(6 - 2√3))/4

Шаг 6: Упростим произведение корней.

Теперь используем формулу произведения корней:

• √(6 + 2√3) * √(6 - 2√3) = √((6 + 2√3)(6 - 2√3)) = √(36 - (2√3)^2) = √(36 - 12) = √24 = 2√6

Шаг 7: Подставим обратно в выражение.

Теперь мы можем подставить это обратно в выражение:

• 5^(2√6 / 4) = 5^(√6 / 2)

Ответ:

Таким образом, значение выражения (625^(-cos(π/12)))^(sin(13π/12)) равно 5^(√6 / 2).