Каков остаток от деления многочлена -8x³ + 14x² + 3x на двучлен -4x + 1?

Алгебра 11 класс Остаточный теорема для многочленов остаток от деления многочлен двучлен алгебра 11 класс деление многочленов

Чтобы найти остаток от деления многочлена -8x³ + 14x² + 3x на двучлен -4x + 1, мы можем воспользоваться методом деления многочленов. Однако для упрощения процесса мы также можем использовать теорему о остатке, которая гласит, что остаток от деления многочлена f(x) на многочлен вида ax - b равен f(b/a).

В нашем случае:

• Многочлен f(x) = -8x³ + 14x² + 3x
• Двучлен -4x + 1 можно представить в виде -4x - (-1), что соответствует a = -4 и b = 1.

Теперь мы можем найти значение x, при котором -4x + 1 = 0:

• Решаем уравнение: -4x + 1 = 0.
• Переносим 1 на другую сторону: -4x = -1.
• Делим обе стороны на -4: x = 1/4.

Теперь подставим x = 1/4 в многочлен f(x):

• f(1/4) = -8(1/4)³ + 14(1/4)² + 3(1/4).
• Сначала вычислим каждое из значений:
• (1/4)³ = 1/64, следовательно, -8(1/4)³ = -8/64 = -1/8.
• (1/4)² = 1/16, следовательно, 14(1/4)² = 14/16 = 7/8.
• 3(1/4) = 3/4.
• Теперь сложим все части:
• f(1/4) = -1/8 + 7/8 + 3/4.
• Приведем 3/4 к общему знаменателю 8: 3/4 = 6/8.
• Теперь у нас: f(1/4) = -1/8 + 7/8 + 6/8 = (7 + 6 - 1)/8 = 12/8 = 3/2.

Таким образом, остаток от деления многочлена -8x³ + 14x² + 3x на двучлен -4x + 1 равен 3/2.

Чтобы найти остаток от деления многочлена -8x³ + 14x² + 3x на двучлен -4x + 1, мы можем воспользоваться теоремой о делении многочленов. Согласно этой теореме, остаток от деления многочлена на двучлен имеет степень, меньшую степени делителя.

В нашем случае, делитель -4x + 1 имеет степень 1, следовательно, остаток будет представлять собой многочлен степени 0, то есть константу.

Для нахождения остатка от деления можно использовать метод подстановки, подставив корень двучлена. Найдем корень уравнения -4x + 1 = 0:

1. Решим уравнение: -4x + 1 = 0.
2. Переносим 1 на правую сторону: -4x = -1.
3. Делим обе стороны на -4: x = 1/4.

Теперь подставим x = 1/4 в многочлен -8x³ + 14x² + 3x, чтобы найти остаток:

1. Вычислим -8(1/4)³: -8 * (1/64) = -8/64 = -1/8.
2. Теперь вычислим 14(1/4)²: 14 * (1/16) = 14/16 = 7/8.
3. И наконец, 3(1/4) = 3/4.

Теперь сложим все полученные значения:

1. Сложим -1/8 + 7/8 + 3/4.
2. Сначала сложим -1/8 и 7/8: (-1 + 7)/8 = 6/8 = 3/4.
3. Теперь добавим 3/4: 3/4 + 3/4 = 6/4 = 3/2.

Таким образом, остаток от деления многочлена -8x³ + 14x² + 3x на двучлен -4x + 1 равен 3/2.