Каков результат выражения (sqrt{2} - 1) в степени 192 в виде a + b*sqrt{2}, где a и b - целые числа? Найдите значения a и b легким способом!

Алгебра 11 класс Рациональные и иррациональные числа алгебра 11 класс результат выражения (sqrt{2} - 1) в степени 192 a + b*sqrt{2} целые числа найти a и b легкий способ решения Новый

Привет! Давай разберемся с этим выражением. Нам нужно найти (sqrt{2} - 1) в степени 192 и представить его в виде a + b*sqrt{2>.

Для начала, заметим, что (sqrt{2} - 1) и (sqrt{2} + 1) - это сопряженные числа. Если мы возведем их в степень n, то:

• (sqrt{2} - 1)^n + (sqrt{2} + 1)^n будет целым числом, так как все корни у нас "сократятся".
• (sqrt{2} - 1)^n * (sqrt{2} + 1)^n = (2 - 1) ^ n = 1.

Теперь, если мы обозначим:

• x = (sqrt{2} - 1)^n
• y = (sqrt{2} + 1)^n

То мы имеем:

• x + y = целое число
• xy = 1

Тогда, если n = 192, то:

• y = (sqrt{2} + 1)^192

Теперь, (sqrt{2} + 1) - это больше 1, и при возведении в такую степень оно будет очень большим, а (sqrt{2} - 1) будет стремиться к нулю. Поэтому x будет очень маленьким по сравнению с y.

Таким образом, мы можем сказать, что:

• x = (sqrt{2} - 1)^192
• y = (sqrt{2} + 1)^192

Теперь, чтобы найти a и b:

• a = -1
• b = 1

В итоге, мы получаем:

• a = -1
• b = 1

Так что (sqrt{2} - 1)^192 = -1 + 1*sqrt{2}. Надеюсь, это поможет!