Какова граница выражения lim(x→∞) (1 + 3/x)^(3x)?

Алгебра 11 класс Пределы и бесконечности граница выражения лимит алгебра 11 класс предельное значение предел функции Новый

Чтобы найти предел выражения lim(x→∞) (1 + 3/x)^(3x), мы можем использовать метод преобразования этого выражения. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Преобразуем выражение. Мы знаем, что выражение (1 + 1/n)^n стремится к e при n стремящемся к бесконечности. В нашем случае мы можем переписать выражение следующим образом:
2. Используем замену переменной. Пусть n = 3x. Тогда, когда x стремится к бесконечности, n также стремится к бесконечности. Мы можем переписать выражение как:
   • (1 + 3/x)^(3x) = (1 + 1/(n/3))^n.
3. Теперь мы можем использовать известный предел. Мы знаем, что:
   • lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e.
   Таким образом, наше выражение теперь выглядит как (1 + 1/(n/3))^n.
4. Применяем предел. Мы можем заметить, что (1 + 1/(n/3))^n стремится к e^(3), так как это выражение эквивалентно (1 + 1/n)^n при n стремящемся к бесконечности, но с коэффициентом 3.
5. Итак, мы можем записать предел:
   • lim(x→∞) (1 + 3/x)^(3x) = e^3.

Таким образом, предел lim(x→∞) (1 + 3/x)^(3x) равен e^3.