Какова область определения функции для следующих выражений:

1. а) y=(x^2-4)/(x-2)
2. б) y=корень(x^2+3x-28)

Также, как можно исследовать функции на четность:

1. 1) y=(x^2-4)/x
2. 2) y=x+4/(x^2-16)

Алгебра 11 класс Область определения и исследование функций на четность область определения функции алгебра 11 класс исследование функций четность функций дробно-рациональные функции корень из выражения алгебраические выражения Новый

Область определения функции - это множество всех значений переменной, для которых функция имеет смысл. Давайте рассмотрим каждое из выражений по очереди.

а) y=(x^2-4)/(x-2)

• Сначала определим, когда знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено. Знаменатель равен нулю, когда x-2=0. Это происходит при x=2.
• Таким образом, область определения функции y=(x^2-4)/(x-2) - это все действительные числа, кроме x=2.

Ответ: Область определения: x ∈ R, x ≠ 2.

б) y=корень(x^2+3x-28)

• Здесь необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное значение, поскольку корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Поэтому мы решаем неравенство: x^2 + 3x - 28 ≥ 0.
• Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения: x^2 + 3x - 28 = 0. Используем формулу корней: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
• Подставляем a=1, b=3, c=-28: x = (-3 ± √(3² - 4*1*(-28))) / (2*1) = (-3 ± √(9 + 112)) / 2 = (-3 ± √121) / 2 = (-3 ± 11) / 2.
• Таким образом, корни: x1 = 4 и x2 = -7.
• Теперь нужно определить знаки выражения x^2 + 3x - 28 на интервалах (-∞, -7), (-7, 4) и (4, +∞). Проверим знаки на каждом интервале:
• На интервале (-∞, -7) выбираем, например, x=-8: (-8)^2 + 3*(-8) - 28 = 64 - 24 - 28 = 12 (положительно).
• На интервале (-7, 4) выбираем, например, x=0: 0^2 + 3*0 - 28 = -28 (отрицательно).
• На интервале (4, +∞) выбираем, например, x=5: 5^2 + 3*5 - 28 = 25 + 15 - 28 = 12 (положительно).
• Таким образом, неравенство x^2 + 3x - 28 ≥ 0 выполняется на интервалах (-∞, -7] и [4, +∞).

Ответ: Область определения: x ∈ (-∞, -7] ∪ [4, +∞).

Исследование функций на четность - это процесс определения, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим. Для этого проверяем следующие условия:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x из области определения.
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x) для всех x из области определения.

1) y=(x^2-4)/x

• Находим f(-x): f(-x) = ((-x)^2 - 4)/(-x) = (x^2 - 4)/(-x) = -(x^2 - 4)/x = -f(x).
• Таким образом, f(-x) = -f(x), и функция является нечетной.

Ответ: Функция нечетная.

2) y=x+4/(x^2-16)

• Находим f(-x): f(-x) = -x + 4/((-x)^2 - 16) = -x + 4/(x^2 - 16).
• Сравниваем f(-x) и f(x): f(-x) не равно f(x) и не равно -f(x), следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция нечетная.