Какова площадь фигуры, ограниченной графиком функции x^2 - 4x - 4 и линией y = -x?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и линией площадь фигуры график функции x^2 - 4x - 4 линия y = -x алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - 4x - 4 и линией y = -x, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.

Для этого приравняем функции друг к другу:

• x^2 - 4x - 4 = -x

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• x^2 - 4x + x - 4 = 0
• x^2 - 3x - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

• x1 = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
• x2 = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 4.

Шаг 2: Найдем площадь фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной двумя графиками, можно найти, вычислив определенный интеграл от разности верхней функции и нижней функции на интервале от -1 до 4.

Определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на данном интервале. Подставим значения x в обе функции:

• Для x = 0: y1 = 0^2 - 4*0 - 4 = -4; y2 = -0 = 0 (y2 выше)
• Для x = 3: y1 = 3^2 - 4*3 - 4 = -1; y2 = -3 = -3 (y1 выше)

Таким образом, на интервале от -1 до 4 функция y = -x находится выше, чем y = x^2 - 4x - 4.

Шаг 3: Запишем интеграл для площади.

Площадь S будет равна:

• S = ∫[от -1 до 4] (-(x^2 - 4x - 4) - (-x)) dx
• S = ∫[от -1 до 4] (-x^2 + 4x + 4 + x) dx
• S = ∫[от -1 до 4] (-x^2 + 5x + 4) dx

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Теперь найдем первообразную для функции -x^2 + 5x + 4:

• ∫(-x^2 + 5x + 4) dx = -x^3/3 + (5/2)x^2 + 4x + C

Теперь подставим пределы интегрирования:

• S = [-x^3/3 + (5/2)x^2 + 4x] от -1 до 4

Сначала подставим x = 4:

• S(4) = -(4^3)/3 + (5/2)*(4^2) + 4*4 = -64/3 + 40 + 16 = -64/3 + 56 = -64/3 + 168/3 = 104/3

Теперь подставим x = -1:

• S(-1) = -(-1^3)/3 + (5/2)*(-1^2) + 4*(-1) = 1/3 - 5/2 - 4 = 1/3 - 2.5 - 4 = 1/3 - 6.5 = 1/3 - 19/3 = -18/3 = -6

Теперь вычислим площадь:

• S = S(4) - S(-1) = (104/3) - (-6) = (104/3) + (18/3) = 122/3

Ответ:

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, равна 122/3.