Какова площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

• y = 2cos²(x/2) + 1
• y = 0
• x = 0
• x = π

Алгебра 11 класс Интегрирование и вычисление площадей фигур площадь фигуры алгебра 11 класс интегралы косинус графики функций ограниченные линии математический анализ примеры задач Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика функции y = 2cos²(x/2) + 1 и оси x (y = 0).

Для этого приравняем функцию к нулю:

2cos²(x/2) + 1 = 0

Решим это уравнение:

2cos²(x/2) = -1

Поскольку косинус в квадрате всегда неотрицателен, уравнение не имеет решений. Это означает, что график функции y = 2cos²(x/2) + 1 не пересекает ось x.

Шаг 2: Найдем максимальное и минимальное значения функции на отрезке [0, π].

Функция y = 2cos²(x/2) + 1 принимает минимальное значение, когда cos²(x/2) = 0, т.е. когда x/2 = π/2, или x = π. В этом случае:

y(π) = 2 * 0 + 1 = 1

Максимальное значение функции будет, когда cos²(x/2) = 1, т.е. когда x = 0. В этом случае:

y(0) = 2 * 1 + 1 = 3

Таким образом, на отрезке [0, π] функция изменяется от 1 до 3.

Шаг 3: Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью x.

Площадь фигуры под графиком функции от x = 0 до x = π можно найти, вычислив определенный интеграл:

S = ∫[0, π] (2cos²(x/2) + 1) dx

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Разделим интеграл на две части:

S = ∫[0, π] 2cos²(x/2) dx + ∫[0, π] 1 dx

Второй интеграл легко вычисляется:

∫[0, π] 1 dx = [x] от 0 до π = π - 0 = π

Теперь вычислим первый интеграл. Используем формулу преобразования для cos²:

cos²(x/2) = (1 + cos(x))/2

Таким образом, имеем:

∫[0, π] 2cos²(x/2) dx = ∫[0, π] (1 + cos(x)) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[0, π] (1 + cos(x)) dx = ∫[0, π] 1 dx + ∫[0, π] cos(x) dx

Мы уже знаем, что ∫[0, π] 1 dx = π. Теперь вычислим ∫[0, π] cos(x) dx:

∫[0, π] cos(x) dx = [sin(x)] от 0 до π = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Таким образом, первый интеграл равен:

∫[0, π] 2cos²(x/2) dx = π + 0 = π

Теперь подставим результаты в формулу для площади:

S = π + π = 2π

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 2π.