Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика функции y = 2cos²(x/2) + 1 и оси x (y = 0).

Для этого приравняем функцию к нулю:

2cos²(x/2) + 1 = 0

Решим это уравнение:

2cos²(x/2) = -1

Поскольку косинус в квадрате всегда неотрицателен, уравнение не имеет решений. Это означает, что график функции y = 2cos²(x/2) + 1 не пересекает ось x.

Шаг 2: Найдем максимальное и минимальное значения функции на отрезке [0, π].

Функция y = 2cos²(x/2) + 1 принимает минимальное значение, когда cos²(x/2) = 0, т.е. когда x/2 = π/2, или x = π. В этом случае:

y(π) = 2 * 0 + 1 = 1

Максимальное значение функции будет, когда cos²(x/2) = 1, т.е. когда x = 0. В этом случае:

y(0) = 2 * 1 + 1 = 3

Таким образом, на отрезке [0, π] функция изменяется от 1 до 3.

Шаг 3: Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью x.

Площадь фигуры под графиком функции от x = 0 до x = π можно найти, вычислив определенный интеграл:

S = ∫[0, π] (2cos²(x/2) + 1) dx

Шаг 4: Вычислим интеграл.

Разделим интеграл на две части:

S = ∫[0, π] 2cos²(x/2) dx + ∫[0, π] 1 dx

Второй интеграл легко вычисляется:

∫[0, π] 1 dx = [x] от 0 до π = π - 0 = π

Теперь вычислим первый интеграл. Используем формулу преобразования для cos²:

cos²(x/2) = (1 + cos(x))/2

Таким образом, имеем:

∫[0, π] 2cos²(x/2) dx = ∫[0, π] (1 + cos(x)) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[0, π] (1 + cos(x)) dx = ∫[0, π] 1 dx + ∫[0, π] cos(x) dx

Мы уже знаем, что ∫[0, π] 1 dx = π. Теперь вычислим ∫[0, π] cos(x) dx:

∫[0, π] cos(x) dx = [sin(x)] от 0 до π = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Таким образом, первый интеграл равен:

∫[0, π] 2cos²(x/2) dx = π + 0 = π

Теперь подставим результаты в формулу для площади:

S = π + π = 2π

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 2π.