Какова площадь фигуры, заданной функцией f(x)=3x-(1/3)x^3, которая ограничена прямыми x=-sqrt(3) и x=0?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры под кривой площадь фигуры функция f(x) алгебра 11 класс ограниченные прямые интеграл вычисление площади график функции x=-sqrt(3) x=0 Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = 3x - (1/3)x^3 и прямыми x = -sqrt(3) и x = 0, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти точки пересечения функции с осью абсцисс

Сначала определим, где функция f(x) равна нулю. Это позволит нам понять, где график функции пересекает ось x:

1. Решим уравнение: 3x - (1/3)x^3 = 0.
2. Факторизуем: x(3 - (1/3)x^2) = 0.
3. Это уравнение равно нулю при x = 0 и 3 - (1/3)x^2 = 0.
4. Решим второе уравнение: 3 = (1/3)x^2, откуда x^2 = 9, следовательно, x = ±3.

Таким образом, функция пересекает ось x в точках x = -3, x = 0 и x = 3.

Шаг 2: Определить область интегрирования

Мы ищем площадь между x = -sqrt(3) и x = 0. Обе эти точки находятся между -3 и 3, так что мы можем использовать их для вычисления площади.

Шаг 3: Вычислить площадь с помощью интеграла

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью x, вычисляется с помощью определенного интеграла:

Площадь = ∫ (от -sqrt(3) до 0) f(x) dx.

Подставляем функцию:

Площадь = ∫ (от -sqrt(3) до 0) (3x - (1/3)x^3) dx.

Шаг 4: Вычислить интеграл

1. Интегрируем функцию: ∫ (3x - (1/3)x^3) dx = (3/2)x^2 - (1/12)x^4 + C.
2. Теперь подставляем пределы интегрирования:
3. Площадь = [(3/2)(0)^2 - (1/12)(0)^4] - [(3/2)(-sqrt(3))^2 - (1/12)(-sqrt(3))^4].
4. Вычисляем: Площадь = 0 - [(3/2)(3) - (1/12)(9sqrt(3))].
5. Упрощаем: Площадь = -[(9/2) - (3sqrt(3)/4)].
6. Таким образом, Площадь = (9/2) - (3sqrt(3)/4).

Шаг 5: Окончательный ответ

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и прямыми x = -sqrt(3) и x = 0, равна:

Площадь = (9/2) - (3sqrt(3)/4).