Какова сумма: 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... + 1/(99*101)?

Алгебра 11 класс Суммы бесконечных рядов и их свойства алгебра 11 класс сумма дробей последовательности математические задачи дроби алгебраические выражения решение задач математический анализ Новый

Для нахождения суммы выражения 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... + 1/(99*101) мы можем заметить, что каждый член этой последовательности имеет вид 1/(n*(n+2)), где n - нечетные числа от 1 до 99.

Давайте запишем общий член последовательности:

• Первый член: 1/(1*3)
• Второй член: 1/(3*5)
• Третий член: 1/(5*7)
• ... и так далее до 1/(99*101).

Теперь мы можем переписать каждый член в более удобной форме. Для этого воспользуемся разложением на простые дроби:

1/(n*(n+2)) можно представить как:

1/(n*(n+2)) = A/n + B/(n+2),

где A и B - некоторые константы, которые мы найдем.

Умножим обе стороны на n*(n+2):

1 = A*(n+2) + B*n.

Теперь подберем A и B. Для этого подставим подходящие значения n:

• Пусть n = 0: 1 = A*2 => A = 1/2.
• Пусть n = -2: 1 = B*(-2) => B = -1/2.

Таким образом, мы имеем:

1/(n*(n+2)) = 1/2 * (1/n - 1/(n+2)).

Теперь подставим это в нашу сумму:

Сумма = 1/2 * (1/1 - 1/3) + 1/2 * (1/3 - 1/5) + 1/2 * (1/5 - 1/7) + ... + 1/2 * (1/99 - 1/101).

Обратите внимание, что это телескопическая сумма. Многие члены в ней сократятся:

Сумма = 1/2 * (1 - 1/101).

Теперь просто вычислим это:

Сумма = 1/2 * (1 - 1/101) = 1/2 * (100/101) = 50/101.

Ответ: Сумма равна 50/101.