Какова сумма квадратов корней уравнения 28/(x² - 5x + 8) - x² = 11 - 5x?

Алгебра 11 класс Сумма квадратов корней уравнений сумма квадратов корни уравнения алгебра 11 класс решение уравнения квадратные корни Новый

Чтобы найти сумму квадратов корней уравнения 28/(x² - 5x + 8) - x² = 11 - 5x, давайте сначала упростим уравнение.

1. Переносим все члены на одну сторону уравнения:

• 28/(x² - 5x + 8) - x² + 5x - 11 = 0

2. Умножим обе стороны уравнения на (x² - 5x + 8), чтобы избавиться от дроби:

• 28 - x²(x² - 5x + 8) + 5x(x² - 5x + 8) - 11(x² - 5x + 8) = 0

3. Раскроем скобки:

• - x⁴ + 5x³ + 8x² + 5x³ - 25x² + 40x - 11x² + 55x - 88 = 0

4. Объединим подобные члены:

• - x⁴ + 10x³ + (8 - 25 - 11)x² + (40 + 55)x - 88 = 0
• - x⁴ + 10x³ - 28x² + 95x - 88 = 0

5. Умножим уравнение на -1 для удобства:

• x⁴ - 10x³ + 28x² - 95x + 88 = 0

Теперь нам нужно найти сумму квадратов корней этого уравнения. Для этого воспользуемся формулой:

• Если корни уравнения ax² + bx + c = 0 равны r1 и r2, то сумма квадратов корней равна r1² + r2² = (r1 + r2)² - 2r1r2.

6. По теореме Виета для многочлена четвертой степени:

• Сумма корней (r1 + r2 + r3 + r4) равна -b/a = 10/1 = 10.
• Сумма произведений корней по два (r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4) равна c/a = 28/1 = 28.
• Сумма произведений корней по три (r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4) равна -d/a = -95/1 = -95.
• Произведение корней (r1r2r3r4) равно e/a = 88/1 = 88.

7. Теперь подставляем значения в формулу для суммы квадратов:

• Сумма квадратов корней = (r1 + r2 + r3 + r4)² - 2 * (r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4)
• = 10² - 2 * 28
• = 100 - 56
• = 44.

Таким образом, сумма квадратов корней данного уравнения равна 44.