Какова сумма квадратов пяти членов арифметической прогрессии, если сумма четырех последовательных членов превышает пятый член на 1/15, а разность пятого и первого членов равна 4/3?

Алгебра 11 класс Сумма квадратов членов арифметической прогрессии сумма квадратов арифметическая прогрессия члены прогрессии разность членов задача по алгебре 11 класс алгебраические выражения Новый

Для решения данной задачи давайте обозначим первый член арифметической прогрессии через a, а разность прогрессии через d. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a + d
• Третий член: a + 2d
• Четвертый член: a + 3d
• Пятый член: a + 4d

Теперь воспользуемся данными условиями задачи.

1. Согласно первому условию, сумма четырех последовательных членов превышает пятый член на 1/15. Сумма первых четырех членов:
• S4 = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 4a + 6d

Таким образом, по условию задачи:

4a + 6d = (a + 4d) + 1/15

Упростим это уравнение:

4a + 6d = a + 4d + 1/15

Переносим все в одну сторону:

4a + 6d - a - 4d = 1/15 3a + 2d = 1/15
2. Согласно второму условию, разность пятого и первого членов равна 4/3:
(a + 4d) - a = 4d = 4/3

Отсюда найдем d:

d = 1/3

Теперь подставим найденное значение d в первое уравнение:

3a + 2(1/3) = 1/15

Упростим:

3a + 2/3 = 1/15

Теперь нужно привести все к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 15 - это 15:

3a + 10/15 = 1/15

Переносим 10/15 в правую часть:

3a = 1/15 - 10/15 = -9/15

Упрощаем:

3a = -3/5

Теперь найдем a:

a = -1/5

Теперь мы можем найти члены прогрессии:

• Первый член: a = -1/5
• Второй член: a + d = -1/5 + 1/3 = -3/15 + 5/15 = 2/15
• Третий член: a + 2d = -1/5 + 2/3 = -3/15 + 10/15 = 7/15
• Четвертый член: a + 3d = -1/5 + 1 = -3/15 + 15/15 = 12/15 = 4/5
• Пятый член: a + 4d = -1/5 + 4/3 = -3/15 + 20/15 = 17/15

Теперь найдем сумму квадратов этих пяти членов:

S = (-1/5)² + (2/15)² + (7/15)² + (4/5)² + (17/15)²

Посчитаем каждый квадрат:

• (-1/5)² = 1/25
• (2/15)² = 4/225
• (7/15)² = 49/225
• (4/5)² = 16/25 = 144/225
• (17/15)² = 289/225

Теперь сложим все эти дроби. Приведем к общему знаменателю:

S = (1/25) + (4/225) + (49/225) + (144/225) + (289/225)

Преобразуем:

S = (9/225) + (4/225) + (49/225) + (144/225) + (289/225) = 495/225

Упрощаем:

S = 11/5

Таким образом, сумма квадратов пяти членов арифметической прогрессии равна 11/5.