Какова сумма первых п членов геометрической прогрессии, если сумма третьего и четвертого членов составляет 108, а сумма второго и третьего членов равна 36?

Алгебра 11 класс Сумма геометрической прогрессии сумма членов геометрической прогрессии сумма третьего и четвертого членов сумма второго и третьего членов задача по алгебре 11 класс алгебра Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq^2
• Четвертый член: aq^3

Теперь запишем условия задачи:

1. Сумма третьего и четвертого членов равна 108: aq^2 + aq^3 = 108
2. Сумма второго и третьего членов равна 36: aq + aq^2 = 36

Теперь у нас есть система уравнений:

1. aq^2(1 + q) = 108
2. aq(1 + q) = 36

Теперь мы можем выразить aq(1 + q) из второго уравнения:

aq(1 + q) = 36

Теперь попробуем выразить aq^2(1 + q) через это значение:

aq^2(1 + q) = q * aq(1 + q) = q * 36

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

q * 36 = 108

Теперь найдем значение q:

q = 108 / 36 = 3

Теперь, зная значение q, подставим его обратно во второе уравнение, чтобы найти a:

aq(1 + q) = 36

Подставим q = 3:

aq(1 + 3) = 36

aq * 4 = 36

Следовательно:

aq = 36 / 4 = 9

Теперь мы можем выразить a:

a = 9 / q = 9 / 3 = 3

Теперь у нас есть значения a и q:

• a = 3
• q = 3

Теперь мы можем найти сумму первых p членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит так:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q), если q ≠ 1.

Подставим значения a и q:

S_p = 3 * (1 - 3^p) / (1 - 3)

Упрощаем:

S_p = 3 * (1 - 3^p) / (-2) = -3/2 * (1 - 3^p)

Таким образом, сумма первых p членов геометрической прогрессии равна:

S_p = (3^p - 1) / 2