Чтобы найти сумму всех корней уравнения 2х⁴ - 7х² + 2 = 0, начнем с его преобразования. Это уравнение является квадратным по отношению к переменной х². Для удобства сделаем замену:

• Обозначим: y = х².

Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

2y² - 7y + 2 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

• Дискриминант: D = b² - 4ac.
• В нашем случае a = 2, b = -7, c = 2.

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-7)² - 4 * 2 * 2 = 49 - 16 = 33.

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Теперь найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

y₁, y₂ = ( -b ± √D ) / (2a).

Подставим значения:

• y₁ = (7 + √33) / 4,
• y₂ = (7 - √33) / 4.

Теперь, поскольку мы вернулись к переменной х, помним, что y = х². Таким образом, для каждого корня y мы найдем два корня x:

• Для y₁ = (7 + √33) / 4:
• х₁ = √((7 + √33) / 4),
• х₂ = -√((7 + √33) / 4).
• Для y₂ = (7 - √33) / 4:
• х₃ = √((7 - √33) / 4),
• х₄ = -√((7 - √33) / 4).

Теперь найдем сумму всех корней уравнения. Сумма корней квадратного уравнения y = 2y² - 7y + 2 равна -b/a, где b = -7 и a = 2:

Сумма y-значений: S_y = 7 / 2.

Теперь, учитывая, что для каждого корня y у нас есть два корня x, сумма всех корней x будет:

S_x = 2 * S_y = 2 * (7 / 2) = 7.

Ответ: Сумма всех корней уравнения 2х⁴ - 7х² + 2 = 0 равна 7.