Давайте сначала разберемся с первым вопросом о трехзначных числах, которые удовлетворяют определенным условиям.

Нам нужно найти все трехзначные числа, которые при делении на 4 и на 6 дают остаток 1, а при делении на 9 дают остаток 4. Начнем с формулировки условий в виде систем уравнений:

• x ≡ 1 (mod 4)
• x ≡ 1 (mod 6)
• x ≡ 4 (mod 9)

Первое и второе условия можно объединить, так как 4 и 6 имеют общую кратность. Наименьшее общее кратное (НОК) для 4 и 6 равно 12. Таким образом, мы можем записать:

x ≡ 1 (mod 12)

Теперь у нас есть система:

• x ≡ 1 (mod 12)
• x ≡ 4 (mod 9)

Решим эту систему. Сначала запишем x в виде:

x = 12k + 1, где k — целое число.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

12k + 1 ≡ 4 (mod 9).

Упростим это уравнение:

12k + 1 ≡ 4 (mod 9) => 3k + 1 ≡ 4 (mod 9).

Вычтем 1 с обеих сторон:

3k ≡ 3 (mod 9).

Теперь делим обе стороны на 3:

k ≡ 1 (mod 3).

Это означает, что k может быть записано как:

k = 3m + 1, где m — целое число.

Теперь подставим k обратно в выражение для x:

x = 12(3m + 1) + 1 = 36m + 13.

Теперь найдем трехзначные числа, подставляя разные значения m:

Для m = 0: x = 13 (не трехзначное)

Для m = 1: x = 49 (не трехзначное)

Для m = 2: x = 85 (не трехзначное)

Для m = 3: x = 121 (трехзначное)

Для m = 4: x = 157 (трехзначное)

Для m = 5: x = 193 (трехзначное)

Для m = 6: x = 229 (трехзначное)

Для m = 7: x = 265 (трехзначное)

Для m = 8: x = 301 (трехзначное)

Для m = 9: x = 337 (трехзначное)

Для m = 10: x = 373 (трехзначное)

Для m = 11: x = 409 (трехзначное)

Для m = 12: x = 445 (трехзначное)

Для m = 13: x = 481 (трехзначное)

Для m = 14: x = 517 (трехзначное)

Для m = 15: x = 553 (трехзначное)

Для m = 16: x = 589 (трехзначное)

Для m = 17: x = 625 (трехзначное)

Для m = 18: x = 661 (трехзначное)

Для m = 19: x = 697 (трехзначное)

Для m = 20: x = 733 (трехзначное)

Для m = 21: x = 769 (трехзначное)

Для m = 22: x = 805 (трехзначное)

Для m = 23: x = 841 (трехзначное)

Для m = 24: x = 877 (трехзначное)

Для m = 25: x = 913 (трехзначное)

Для m = 26: x = 949 (трехзначное)

Для m = 27: x = 985 (трехзначное)

Для m = 28: x = 1021 (не трехзначное)

Теперь у нас есть все трехзначные числа: 121, 157, 193, 229, 265, 301, 337, 373, 409, 445, 481, 517, 553, 589, 625, 661, 697, 733, 769, 805, 841, 877, 913, 949, 985.

Теперь найдем их сумму:

Сумма = 121 + 157 + 193 + 229 + 265 + 301 + 337 + 373 + 409 + 445 + 481 + 517 + 553 + 589 + 625 + 661 + 697 + 733 + 769 + 805 + 841 + 877 + 913 + 949 + 985.

Сумма всех этих чисел равна 12300.

Теперь перейдем ко второму вопросу: какое наименьшее натуральное число, кратное 2, при делении на 15 дает остаток 7?

Запишем это условие в виде уравнения:

x ≡ 7 (mod 15).

Это означает, что x может быть записано как:

x = 15k + 7, где k — целое число.

Поскольку нам нужно, чтобы x было кратно 2, проверим, когда 15k + 7 будет четным:

15k + 7 должно быть четным, а это возможно, если k — нечетное число (так как 15 — нечетное, а 7 — нечетное, сумма двух нечетных чисел — четное).

Наименьшее нечетное k — это 1:

x = 15(1) + 7 = 22.

Таким образом, наименьшее натуральное число, кратное 2, при делении на 15 дает остаток 7, равно 22.

Итак, ответ на первый вопрос: сумма всех трехзначных чисел равна 12300, а наименьшее натуральное число, кратное 2, при делении на 15 дает остаток 7, равно 22.