Какова вероятность выхода из строя каждого из трех блоков прибора в течение гарантийного срока, если она равна 0.3? Случайная величина X - это число блоков, вышедших из строя в течение гарантийного срока. a) Как найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F(x)? b) Как вычислить математическое ожидание М(х), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение о(х)?

Алгебра 11 класс Вероятностные распределения и статистика вероятность выхода из строя случайная величина X закон распределения функция распределения F(x) математическое ожидание М(x) дисперсия D(x) среднее квадратическое отклонение о(x) Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать понятие биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае 3 блока), каждое из которых может закончиться успехом (выходом из строя) или неудачей (работоспособностью).

a) Закон распределения случайной величины X и ее функция распределения F(x)

Случайная величина X, представляющая число блоков, вышедших из строя, подчиняется биномиальному распределению. В нашем случае:

• n = 3 (количество блоков),
• p = 0.3 (вероятность выхода из строя одного блока).

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен n! / (k!(n-k)!), а k - количество успехов (в нашем случае, количество вышедших из строя блоков).

Теперь мы можем вычислить вероятности для k = 0, 1, 2, 3:

• P(X = 0) = C(3, 0) * 0.3^0 * 0.7^3 = 1 * 1 * 0.343 = 0.343
• P(X = 1) = C(3, 1) * 0.3^1 * 0.7^2 = 3 * 0.3 * 0.49 = 0.441
• P(X = 2) = C(3, 2) * 0.3^2 * 0.7^1 = 3 * 0.09 * 0.7 = 0.189
• P(X = 3) = C(3, 3) * 0.3^3 * 0.7^0 = 1 * 0.027 * 1 = 0.027

Таким образом, закон распределения случайной величины X можно представить в виде:

• P(X = 0) = 0.343
• P(X = 1) = 0.441
• P(X = 2) = 0.189
• P(X = 3) = 0.027

Функция распределения F(x) будет определяться как сумма вероятностей:

• F(0) = P(X = 0) = 0.343
• F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.343 + 0.441 = 0.784
• F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.784 + 0.189 = 0.973
• F(3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.973 + 0.027 = 1

b) Математическое ожидание М(X), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X)

Математическое ожидание для биномиального распределения рассчитывается по формуле:

M(X) = n * p = 3 * 0.3 = 0.9

Дисперсия для биномиального распределения рассчитывается по формуле:

D(X) = n * p * (1 - p) = 3 * 0.3 * 0.7 = 0.63

Среднее квадратическое отклонение (σ(X)) вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X) = √0.63 ≈ 0.794

Итак, в итоге:

• Закон распределения X: P(X = 0) = 0.343, P(X = 1) = 0.441, P(X = 2) = 0.189, P(X = 3) = 0.027
• Функция распределения F(x): F(0) = 0.343, F(1) = 0.784, F(2) = 0.973, F(3) = 1
• Математическое ожидание M(X) = 0.9
• Дисперсия D(X) = 0.63
• Среднее квадратическое отклонение σ(X) ≈ 0.794