Давайте рассмотрим, что такое четные и нечетные функции, а затем выясним, какое свойство у их произведения.

Четная функция - это функция f(x),которая удовлетворяет условию:

• f(-x) = f(x) для всех x.

Примеры четных функций: f(x) = x², f(x) = cos(x).

Нечетная функция - это функция g(x),которая удовлетворяет условию:

• g(-x) = -g(x) для всех x.

Примеры нечетных функций: g(x) = x³, g(x) = sin(x).

Теперь давайте рассмотрим произведение четной и нечетной функции. Пусть у нас есть четная функция f(x) и нечетная функция g(x). Мы хотим исследовать функцию h(x) = f(x) * g(x).

Теперь проверим, является ли h(x) четной или нечетной:

1. Для h(-x) подставим -x в выражение h(x):
2. h(-x) = f(-x) * g(-x).
3. Так как f(x) - четная функция, то f(-x) = f(x).
4. Так как g(x) - нечетная функция, то g(-x) = -g(x).
5. Следовательно, h(-x) = f(x) * (-g(x)) = -f(x) * g(x) = -h(x).

Таким образом, мы видим, что h(-x) = -h(x),что означает, что функция h(x) является нечетной.

Итак, ответ: Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.