Каковы координаты точек на плоскости, в которых кубическая парабола y=x в кубе пересекается с прямой y=x? Также укажите промежутки значений x, в которых прямая находится выше кубической параболы.

Алгебра 11 класс Кубические функции и их графики кубическая парабола координаты точек пересечение с прямой y=x промежутки значений x алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти координаты точек пересечения кубической параболы y = x^3 и прямой y = x, необходимо решить уравнение:

1. Запишем уравнение для нахождения точек пересечения:
2. Приравняем y = x^3 и y = x:
3. Получаем уравнение: x^3 = x.

Теперь упростим это уравнение:

1. Переносим все в одну сторону: x^3 - x = 0.
2. Факторизуем: x(x^2 - 1) = 0.
3. Далее, разложим x^2 - 1: x(x - 1)(x + 1) = 0.

Таким образом, мы получаем три решения:

• x = 0,
• x = 1,
• x = -1.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение y = x, чтобы найти соответствующие значения y:

• Для x = 0: y = 0, точка (0, 0).
• Для x = 1: y = 1, точка (1, 1).
• Для x = -1: y = -1, точка (-1, -1).

Таким образом, координаты точек пересечения кубической параболы и прямой:

• (0, 0),
• (1, 1),
• (-1, -1).

Теперь определим промежутки значений x, в которых прямая y = x находится выше кубической параболы y = x^3. Для этого нужно рассмотреть знак выражения:

1. Рассмотрим функцию f(x) = x - x^3.
2. Найдем, где f(x) > 0:
3. Факторизуем: f(x) = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x).

Теперь исследуем знаки функции f(x) на промежутках, определяемых корнями:

• Корни: x = -1, x = 0, x = 1.
• Промежутки: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, ∞).

Теперь проверим знак на каждом из промежутков:

• Для x < -1 (например, x = -2): f(-2) = -2(1 - 4) = -2 * (-3) = 6 > 0.
• Для -1 < x < 0 (например, x = -0.5): f(-0.5) = -0.5(1 - 0.25) = -0.5 * 0.75 = -0.375 < 0.
• Для 0 < x < 1 (например, x = 0.5): f(0.5) = 0.5(1 - 0.25) = 0.5 * 0.75 = 0.375 > 0.
• Для x > 1 (например, x = 2): f(2) = 2(1 - 4) = 2 * (-3) = -6 < 0.

Таким образом, прямая y = x находится выше кубической параболы y = x^3 на промежутках:

• (-∞, -1),
• (0, 1).