Каковы область определения и область значения функции 1/(16x^2 - 49)?

Алгебра 11 класс Область определения и область значения функции область определения функции область значения функции алгебра 11 класс 1/(16x^2 - 49) функции и их свойства Новый

Для нахождения области определения и области значения функции f(x) = 1/(16x^2 - 49), давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

Шаг 1: Нахождение области определения

Область определения функции — это множество всех значений x, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю.

• Сначала найдем, когда знаменатель равен нулю:
• 16x^2 - 49 = 0
• Решим это уравнение:
1. 16x^2 = 49
2. x^2 = 49/16
3. x = ±√(49/16)
4. x = ±7/4
• Таким образом, знаменатель равен нулю при x = 7/4 и x = -7/4.
• Следовательно, область определения функции будет: x ∈ R, x ≠ 7/4 и x ≠ -7/4.

Шаг 2: Нахождение области значения

Теперь найдем область значения функции. Область значения — это множество всех возможных значений f(x).

• Функция f(x) = 1/(16x^2 - 49) является дробной и обратной.
• Знаменатель 16x^2 - 49 может принимать любые значения, кроме нуля.
• Когда 16x^2 - 49 > 0, f(x) будет положительным:
1. 16x^2 > 49
2. x^2 > 49/16
3. x > 7/4 или x < -7/4.
4. Таким образом, при этих значениях x, f(x) > 0.
• Когда 16x^2 - 49 < 0, f(x) будет отрицательным:
1. 16x^2 < 49
2. x^2 < 49/16
3. -7/4 < x < 7/4.
4. Таким образом, при этих значениях x, f(x) < 0.
• Функция не может принимать значение 0, так как знаменатель никогда не равен бесконечности.

Следовательно, область значения функции f(x) будет: f(x) ∈ R, f(x) ≠ 0.

Итак, подводя итог:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ 7/4 и x ≠ -7/4.
• Область значения: f(x) ∈ R, f(x) ≠ 0.