Каковы первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени х и какие коэффициенты при х получаются для следующих выражений:

1. (2-x)^6
2. (1+2x)^6

Также, используя результаты предыдущих действий, как найти коэффициент при х в биномиальном разложении [(2-x)(1+2x)]^6? Пожалуйста, приведите полное решение!

Алгебра 11 класс Биномиальное разложение биномиальное разложение коэффициенты слагаемые алгебра 11 класс выражения степень х решение (2-x)^6 (1+2x)^6 коэффициент при х Новый

Давайте начнем с того, что разберем биномиальное разложение, используя формулу бинома Ньютона. Она выглядит следующим образом:

(a + b)^n = С(n, 0) * a^n * b^0 + С(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + С(n, n) * a^0 * b^n,

где С(n, k) - это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

С(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Теперь мы можем применить эту формулу к каждому из выражений.

1. Для выражения (2 - x)^6:

• Здесь a = 2, b = -x и n = 6.
• Первое слагаемое: С(6, 0) * (2^6) * (-x)^0 = 1 * 64 * 1 = 64.
• Второе слагаемое: С(6, 1) * (2^5) * (-x)^1 = 6 * 32 * (-x) = -192x.
• Третье слагаемое: С(6, 2) * (2^4) * (-x)^2 = 15 * 16 * x^2 = 240x^2.

Таким образом, первые три слагаемых в разложении (2 - x)^6:

64 - 192x + 240x^2.

2. Для выражения (1 + 2x)^6:

• Здесь a = 1, b = 2x и n = 6.
• Первое слагаемое: С(6, 0) * (1^6) * (2x)^0 = 1 * 1 * 1 = 1.
• Второе слагаемое: С(6, 1) * (1^5) * (2x)^1 = 6 * 1 * 2x = 12x.
• Третье слагаемое: С(6, 2) * (1^4) * (2x)^2 = 15 * 1 * 4x^2 = 60x^2.

Таким образом, первые три слагаемых в разложении (1 + 2x)^6:

1 + 12x + 60x^2.

3. Теперь найдем коэффициент при x в выражении [(2 - x)(1 + 2x)]^6:

Сначала упростим выражение:

(2 - x)(1 + 2x) = 2 + 4x - x - 2x^2 = 2 + 3x - 2x^2.

Теперь нам нужно разложить (2 + 3x - 2x^2)^6, но для нахождения коэффициента при x мы можем воспользоваться результатами предыдущих действий.

Коэффициент при x:

Коэффициент при x в разложении (2 + 3x - 2x^2)^6 можно найти, используя формулу:

• Коэффициент при x = С(6, 1) * (2^5) * (3x)^1 + С(6, 2) * (2^4) * (3x)^2 * (-2x^2)^0.
• С(6, 1) * 2^5 * 3 = 6 * 32 * 3 = 576.
• С(6, 2) * 2^4 * 3^2 = 15 * 16 * 9 = 2160.

Коэффициент при x в [(2 - x)(1 + 2x)]^6 равен:

576 + 2160 = 2736.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: коэффициент при x в биномиальном разложении [(2 - x)(1 + 2x)]^6 равен 2736.