Каковы первый член и знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, если сумма её членов равна 2, а сумма кубов этих членов равна 24?

Алгебра 11 класс Бесконечные геометрические прогрессии бесконечная геометрическая прогрессия сумма членов сумма кубов первый член знаменатель алгебра 11 класс Новый

Для решения задачи о бесконечной геометрической прогрессии, где известна сумма её членов и сумма кубов этих членов, давайте обозначим:

• a - первый член прогрессии,
• q - знаменатель прогрессии.

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a / (1 - q), где |q| < 1.

В нашем случае сумма членов равна 2, следовательно:

a / (1 - q) = 2. (1)

Теперь рассмотрим сумму кубов членов прогрессии. Сумма кубов также является бесконечной геометрической прогрессией, где первый член равен a^3, а знаменатель равен q^3. Сумма кубов можно записать как:

S_кубов = a^3 / (1 - q^3), где |q| < 1.

Согласно условию, сумма кубов равна 24, поэтому:

a^3 / (1 - q^3) = 24. (2)

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Мы можем выразить a из первого уравнения:

a = 2(1 - q). (3)

Теперь подставим (3) в (2):

(2(1 - q))^3 / (1 - q^3) = 24.

Раскроем скобки:

8(1 - q)^3 / (1 - q^3) = 24.

Упростим уравнение:

(1 - q)^3 / (1 - q^3) = 3.

Теперь вспомним, что 1 - q^3 можно разложить на множители:

1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2).

Подставим это в уравнение:

(1 - q)^3 / [(1 - q)(1 + q + q^2)] = 3.

Сократим (1 - q) в числителе и знаменателе:

(1 - q)^2 / (1 + q + q^2) = 3.

Теперь умножим обе стороны на (1 + q + q^2):

(1 - q)^2 = 3(1 + q + q^2).

Раскроем скобки:

1 - 2q + q^2 = 3 + 3q + 3q^2.

Приведем все слагаемые к одной стороне уравнения:

1 - 2q + q^2 - 3 - 3q - 3q^2 = 0.

Упростим уравнение:

-2 - 5q - 2q^2 = 0.

Умножим на -1 для удобства:

2q^2 + 5q + 2 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Корни уравнения будут:

q = (-b ± √D) / (2a) = (-5 ± 3) / 4.

Таким образом, получаем два корня:

• q1 = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5,
• q2 = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2.

Поскольку |q| < 1, принимаем q = -0.5.

Теперь подставим значение q обратно в уравнение (3), чтобы найти a:

a = 2(1 - (-0.5)) = 2(1 + 0.5) = 2 * 1.5 = 3.

Таким образом, первый член прогрессии a = 3, а знаменатель q = -0.5.