Каковы пределы следующих выражений:

1. lim (2 + x - x + 2);
2. Вычислите значение предела: lim (cos(5x) - cos³(5x)) / x²;
3. Дана функция y = (2x³) / (2x² + 6):
• а) Запишите уравнение вертикальной асимптоты;
• б) С помощью выделения целой части найдите;
• в) Используя предел, покажите, что вы верны;
4. Известно, что lim f(x) = 3 и lim g(x) = -1 при x → 2. Каковы условия прерывности в точке 3?

Алгебра 11 класс Пределы и асимптоты функций пределы выражений вычисление пределов вертикальная асимптота прерывность функции алгебра 11 класс Новый

Давайте рассмотрим каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Предел выражения lim (2 + x - x + 2):

Сначала упростим выражение:

• 2 + x - x + 2 = 2 + 2 = 4.

Таким образом, мы видим, что выражение не зависит от x, и его значение всегда равно 4. Следовательно:

lim (2 + x - x + 2) = 4.

2. Вычислите значение предела: lim (cos(5x) - cos³(5x)) / x²:

Для нахождения предела, подставим x = 0:

• cos(5*0) - cos³(5*0) = cos(0) - cos³(0) = 1 - 1 = 0.

Таким образом, мы получаем 0/0, что является неопределённой формой. Применим правило Лопиталя:

Найдём производные числителя и знаменателя:

• Числитель: производная от (cos(5x) - cos³(5x)) = -5sin(5x) + 3cos²(5x)(5sin(5x)) = -5sin(5x)(1 - 3cos²(5x)).
• Знаменатель: производная от x² = 2x.

Теперь применим предел:

• lim (-5sin(5x)(1 - 3cos²(5x))) / (2x) при x → 0.

Подставляем x = 0:

• sin(5*0) = 0, cos(5*0) = 1, следовательно, выражение снова стремится к 0/0.

Применяем правило Лопиталя снова:

• Числитель: производная от -5sin(5x)(1 - 3cos²(5x)) = -25cos(5x)(1 - 3cos²(5x)) + 30sin²(5x)cos(5x).
• Знаменатель: производная от 2x = 2.

Теперь подставим x = 0 снова:

• cos(0) = 1, sin(0) = 0, получаем -25(1)(1 - 3) + 0 = 50.

Таким образом:

lim (cos(5x) - cos³(5x)) / x² = 50 / 2 = 25.

3. Для функции y = (2x³) / (2x² + 6):

a) Уравнение вертикальной асимптоты:

Вертикальная асимптота возникает, когда знаменатель равен нулю. Найдем, при каких x это происходит:

• 2x² + 6 = 0.
• 2x² = -6, x² = -3.

Поскольку нет действительных корней, вертикальных асимптот нет.

b) Найдем целую часть функции:

Для этого упростим дробь:

• y = (2x³) / (2x² + 6) = (x³) / (x² + 3).

При x → ∞, целая часть стремится к x, так как x³ доминирует над x². Таким образом, целая часть функции:

Целая часть y равна x.

c) Используя предел, покажите, что вы верны:

Найдем предел функции при x → ∞:

• lim (2x³) / (2x² + 6) = lim (2x³/x²) / (2 + 6/x²) = lim (2x) / (2 + 0) = ∞.

Это подтверждает, что целая часть функции действительно стремится к x.

4. Условия прерывности в точке 3:

Функция f(x) непрерывна в точке x = 2, если:

• lim f(x) при x → 2 = f(2).
• По условию, lim f(x) = 3.
• Таким образом, для непрерывности, необходимо, чтобы f(2) = 3.

Функция g(x) непрерывна в точке x = 2, если:

• lim g(x) при x → 2 = g(2).
• По условию, lim g(x) = -1.
• Таким образом, для непрерывности, необходимо, чтобы g(2) = -1.

Итак, для прерывности в точке 3, необходимо, чтобы:

• f(2) = 3 и g(2) = -1.

Если одно из этих условий не выполняется, то функция будет прерывна в точке 3.